Pour prévoir l'avenir des mathématiques, la vraie méthode est d'étudier leur histoire et leur état présent.

Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук.

N'est-ce pas là, pour nous autres mathématiciens, un procédé en quelque sorte professionnel ? Nous sommes accoutumés à extrapoler, ce qui est un moyen de déduire l'avenir du passé et du présent, et comme nous savons bien ce qu'il vaut, nous ne risquons pas de nous faire illusion sur la portée des résultats qu'il nous donne.

Но разве такой прием исследования не является для нас, математиков, некоторым образом профессиональным? Ведь мы привыкли экстраполировать, т. е. выводить будущее из прошедшего и настоящего; а так как ценность этого приема нам хорошо известна, то мы и не рискуем впасть в заблуждение относительно надежности тех результатов, которые мы получим с его помошью.

II y a eu autrefois des prophètes de malheur. Ils répétaient volontiers que tous les problèmes susceptibles d'être résolus l'avaient été déjà, et qu'après eux il n'y aurait plus qu'à glaner. Heureusement, l'exemple du passé nous rassure. Bien des fois déjà on a cru avoir résolu tous les problèmes, ou, tout au moins, avoir fait l'inventaire de ceux qui comportent une solution. Et puis le sens du mot solution s'est élargi, les problèmes insolubles sont devenus les plus intéressants de tous et d'autres problèmes se sont posés auxquels en n'avait pas songé. Pour les Grecs, une bonne solution était celle qui n'emploie que la règle et le compas ; ensuite, cela a été celle qu'on obtient par l'extraction de radicaux, puis celle où ne figurent que des fonctions algébriques ou logarithmiques. Les pessimistes se trouvaient ainsi toujours débordés, toujours forcés de reculer, de sorte qu'à présent je crois bien qu'il n'y en a plus.

В свое время не было недостатка в прорицателях несчастья. Они охотно повторяли, что все проблемы, допускающие решение, уже были разрешены и что следующим поколениям придется довольствоваться кое-какими не замеченными ранее мелочами. К счастью, пример прошлого нас успокаивает. Уже не раз математики полагали, что все проблемы ими разрешены или, по крайней мере, что ими установлен перечень задач, которые допускают решение. Но вслед за тем смысл самого слова "решение" расширялся, проблемы, считавшиеся неразрешимыми, становились наиболее интересными; уму представлялись новые задачи, о которых раньше никто и не думал. Для греков хорошим решением было такое, которое выполняется только линейкой и циркулем; потом хорошим стали считать решение в том случае, если оно получается с помощью извлечения корней; наконец, ограничились требованием употреблять для решения исключительно алгебраические или логарифмические функции. Таким образом, предсказания пессимистов ни разу не сбылись, они вынуждены были делать уступку за уступкой, так что в настоящее время, я полагаю, их больше нет.

Mon intention n'est donc pas de les combattre puisqu'ils sont morts ; nous savons bien que les mathématiques continueront à se développer, mais il s'agit de savoir dans quel sens. On me répondra " dans tous les sens " et cela est vrai en partie ; mais si cela était tout à fait vrai, cela deviendrait un peu effrayant. Nos richesses ne tarderaient pas à devenir encombrantes et leur accumulation produirait un fatras aussi impénétrable que l'était pour l'ignorant la vérité inconnue.

Но если их уже нет, то я не собираюсь с ними сражаться. Мы все уверены, что развитие математики будет продолжаться; весь вопрос в том, в каком именно направлении. Мне могут ответить: "во всех направлениях", — и это будет отчасти справедливо; но если бы это было верно вполне, то это нас несколько устрашило бы. Быстро возрастая, наши богатства вскоре образовали бы нечто столь громоздкое, что мы оказались бы перед этой непостижим ой грудой не в лучшем положении, чем были раньше перед неизвестной нам истиной.

L'historien, le physicien lui-même, doivent faire un choix entre les faits ; le cerveau du savant, qui n'est qu'un coin de l'univers, ne pourra jamais contenir l'univers tout entier ; de sorte que, parmi les faits innombrables que la nature nous offre, il en est qu'on laissera de côté et d'autres qu'en retiendra. Il en est de même, a fortiori, en mathématiques ; le mathématicien, lui non plus, ne peut conserver pèle-mêle tous les faits qui se présentent à lui ; d'autant plus que ces faits c'est lui, j'allais dire c'est son caprice, qui les crée. C'est lui qui construit de toutes pièces une combinaison nouvelle en en rapprochant les éléments ; ce n'est pas en général la nature qui la lui apporte toute faite.

Историку и даже физику приходится делать выбор между фактами; мозг ученого — этот маленький уголок вселенной — никогда не сумеет вместить в себя весь мир целиком; поэтому среди бесчисленных фактов, которыми нас засыпает природа, необходимо будут такие, которые мы оставим в стороне, и будут другие, которые мы сохраним. То же самое, a fortiori, имеет место и в математике: математик тоже не в состоянии воспринять все факты, которые в беспорядке представляются его уму, тем более, что здесь ведь он сам — я хочу сказать, его прихоть — создает эти факты. Ведь это он строит новую комбинацию из отдельных ее частей, сближая между собой их элементы; лишь в редких случаях природа приносит ему вполне готовые комбинации.

Sans doute il arrive quelquefois que le mathématicien aborde un problème pour satisfaire à un besoin de la physique ; que le physicien ou l'ingénieur lui demandent de calculer un nombre en vue d'une application. Dira-t-on que, nous autres géomètres, nous devons nous borner à attendre les commandes, et, au lieu de cultiver notre science pour notre plaisir, n'avoir d'autre souci que de nous accommoder au goût de la clientèle ? Si les mathématiques n'ont d'autre objet que de venir en aide à ceux qui étudient la nature, c'est de ces derniers que nous devons attendre le mot d'ordre. Cette façon de voir est-elle légitime ? Certainement non ; si nous n'avions pas cultivé les sciences exactes pour elles-mêmes, nous n'aurions pas créé l'instrument mathématique, et le jour où serait venu le mot d'ordre du physicien, nous aurions été désarmés.

Бывают, конечно, и такие случаи, когда математик берется за ту или иную проблему, желая удовлетворить тем или иным требованиям физики; случается, что физик или инженер предлагают математику вычислить какое-нибудь число, которое им нужно знать для того или иного применения. Следует ли отсюда, что все мы, математики, должны ограничиться выжиданием таких требований и, вместо того чтобы свободно культивировать удовольствия, не иметь другой заботы, как применяться ко вкусам нашей клиентуры? Не должны ли математики, имея единственной целью приходить на помощь испытателям природы, только от последних ждать распоряжений? Можно ли оправдать такой взгляд? Конечно, нет! Если бы мы не культивировали точных наук ради них самих, то мы не создали бы математического орудия исследования, и в тот день, когда от физика пришел бы требовательный приказ, мы оказались бы безоружными.

Les physiciens non plus n'attendent pas, pour étudier un phénomène, que quelque besoin urgent de la vie matérielle leur en ait fait une nécessité, et ils ont bien raison ; si les savants du XVIII^e siècle avaient délaissé l'électricité, parce qu'elle n'aurait été à leurs yeux qu'une curiosité sans intérêt pratique, nous n'aurions au XX^e siècle ni télégraphie, ni électrochimie, ni électrotechnique. Les physiciens, forcés de choisir, ne sont donc pas guidés dans leur choix uniquement par l'utilité. Comment donc font-ils pour choisir entre les faits naturels ? Nous l'avons expliqué dans le chapitre précédent ; les faits qui les intéressent ce sont ceux qui peuvent conduire à la découverte d'une loi ; ce sont donc ceux qui sont analogues à beaucoup d'autres faits, qui ne nous apparaissent pas comme isolés, mais comme étroitement groupés avec d'autres. Le fait isolé frappe tous les yeux, ceux du vulgaire comme ceux du savant. Mais ce que le vrai physicien seul sait voir, c'est le lien qui unit plusieurs faits dont l'analogie est profonde, mais cachée. L'anecdote de la pomme de Newton n'est probablement pas vraie, mais elle est symbolique ; parlons-en donc comme si elle était vraie. Eh bien, nous devons croire qu'avant Newton bien des hommes avaient vu tomber des pommes : aucun n'avait rien su en conclure. Les faits seraient stériles s'il n'y avait des esprits capables de choisir entre eux en discernant ceux derrière lesquels il se cache quelque chose et de reconnaître ce qui se cache derrière, des esprits qui, sous le fait brut, sentiront l'âme du fait.

Ведь физики приступают к изучению того или другого явления не потому, что какая- нибудь неотложная потребность материальной жизни сделала это изучение необходимым, и они правы. Если бы ученые XVIII столетия забросили электричество по той причине, что оно в их глазах было только курьезом, лишенным всякого практического интереса, то мы не имели бы в XX столетии ни телеграфа, ни электрохимии, ни электротехники. Будучи вынуждены сделать выбор, физики, таким образом, не руководствуются при этом единственно вопросом полезности. Как же именно поступают они, выбирая среди фактов природы? Нам нетрудно ответить на этот вопрос; их интересуют именно те факты, которые могут привести к открытию нового закона; другими словами, те факты, которые сходны с множеством других фактов, те, которые представляются нам не изолированными, а как бы тесно связанными в одно целое с другими фактами. Отдельный факт бросается в глаза всем — и невежде и ученому. Но только истинный физик способен подметить ту связь, которая объединяет вместе многие факты глубокой, но скрытой аналогией. Анекдот о яблоке Ньютона знаменателен, хотя он, вероятно, и не соответствует истине; будем поэтому говорить о нем как о действительном факте. Но ведь и до Ньютона, надо полагать, немало людей видели, как падают яблоки; а между тем никто не сумел сделать отсюда никакого вывода. Факты остались бы бесплодными, не будь умов, способных делать между ними выбор, отличать те из них, за которыми скрывается нечто, и распознавать это нечто, умов, которые под грубой оболочкой факта чувствуют, так сказать, его душу.

En mathématiques nous faisons tout à fait le même chose ; des éléments variés dont nous disposons, nous pouvons faire sortir des millions de combinaisons différentes ; mais une de ces combinaisons, tant qu'elle est isolée, est absolument dépourvue de valeur ; nous nous sommes souvent donné beaucoup de peine pour la construire, mais cela ne sert absolument à rien, si ce n'est peut-être à donner un sujet de devoir pour l'enseignement secondaire. Il en sera tout autrement le jour où cette combinaison prendra place dans une classe de combinaisons analogues et où nous aurons remarqué cette analogie ; nous ne serons plus en présence d'un fait, mais d'une loi. Et, ce jour-là, le véritable inventeur, ce ne sera pas l'ouvrier qui aura patiemment édifié quelques unes de ces combinaisons, ce sera celui qui aura mis en évidence leur parenté. Le premier n'aura vu que le fait brut, l'autre seul aura senti l'âme du fait. Souvent, pour affirmer cette parenté, il lui aura suffi d'inventer un mot nouveau, et ce mot aura été créateur ; l'histoire de la science nous fournirait une foule d'exemples qui sont familiers à tous.

Буквально то же самое проделываем мы и в математике. Из различных элементов, которыми мы располагаем, мы можем создать миллионы разнообразных комбинаций; но какая-нибудь одна такая комбинация, сама по себе, абсолютно лишена значения; нам могло стоить большого труда создать ее, но это ничему не служит, разве что может быть предложено в качестве школьного упражнения. Другое будет дело, когда эта комбинация займет место в ряду аналогичных ей комбинаций, и когда мы подметим эту аналогию, перед нами будет уже не факт, а закон. И в этот день истинным творцом-изобретателем окажется не тот рядовой работник, который старательно построил некоторые из этих комбинаций, а тот, кто обнаружил между ними родственную связь. Первый видел один лишь голый факт, и только второй познал душу факта. Часто для обнаружения этого родства бывает достаточно изобрести одно новое слово, и это слово становится творцом; история науки может доставить нам множество знакомых вам примеров.

Le célèbre philosophe viennois Mach a dit que le rôle de la Science est de produire l'économie de pensée, de même que la machine produit l'économie d'effort. Et cela est très juste. Le sauvage calcule avec ses doigts ou en assemblant de petits cailloux. En apprenant aux enfants la table de multiplication, nous leur épargnons pour plus tard d'innombrables manœuvres de cailloux. Quelqu'un autrefois a reconnu, avec des cailloux ou autrement, que 6 fois 7 font 42 et il a eu l'idée de noter le résultat, et c'est pour cela que nous n'avons pas besoin de recommencer. Celui-là n'a pas perdu son temps si même il ne calculait que pour son plaisir ; son opération ne lui a pris que deux minutes ; elle en aurait exigé en tout deux milliards, si un milliard d'hommes avait dû la recommencer après lui.

Знаменитый венский философ Мах сказал, что роль науки состоит в создании экономии мысли (1), подобно тому как машина создает экономию силы. И это весьма справедливо. Дикарь считает с помощью своих пальцев или собирая камешки. Обучая детей таблице умножения, мы избавляем их на будущее от бесчисленных манипуляций с камешками. Кто-то как-то узнал, с помощью ли камней или как-либо иначе, что 6 раз 7 составляет 42; ему пришла идея отметить этот результат, и вот благодаря этому мы не имеем больше надобности повторять вычисление сначала. Этот человек не потерял понапрасну своего времени даже в том случае, если он вычислял единственно ради собственного удовольствия; его манипуляция отняла у него не более двух минут, а между тем потребовалось бы целых два миллиарда минут, если бы миллиард людей должен был после него повторять ту же манипуляцию.

L'importance d'un fait se mesure donc à son rendement, c'est-à-dire à la quantité de pensée qu'elle nous permet d'économiser.

Итак, важность какого-нибудь факта измеряется его продуктивностью, т. е. тем количеством мысли, какое он позволяет нам сберечь.

En physique, les faits à grand rendement sont ceux qui rentrent dans une loi très générale, parce qu'ils permettent d'en prévoir un très grand nombre d'autres, et il n'en est pas autrement en mathématiques. Je me suis livré à un calcul compliqué et suis arrivé péniblement à un résultat ; je ne serai pas payé de ma peine si je ne suis devenu par là capable de prévoir les résultats d'autres calculs analogues et de les diriger à coup sûr en évitant les tâtonnements auxquels j'ai dû me résigner la première fois. Je n'aurai pas perdu mon temps, au contraire, si ces tâtonnements mêmes ont fini par me révéler l'analogie profonde du problème que je viens de traiter avec une classe beaucoup plus étendue d'autres problèmes ; s'ils m'en ont montré à la fois les ressemblances et les différences, si en un mot ils m'ont fait entrevoir la possibilité d'une généralisation. Ce n'est pas alors un résultat nouveau que j'aurais acquis, c'est une force nouvelle.

В физике фактами большой продуктивности являются те, которые входят в очень общий закон, ибо благодаря этому они позволяют предвидеть весьма большое количество других фактов; то же мы видим и в математике. Я занялся сложным вычислением и, наконец, после большого труда пришел к некоторому результату; я не был бы вознагражден за свой труд, если бы благодаря .полученному результату я не оказался в состоянии предвидеть результаты других подобных вычислений и уверенно направлять их, избегая тех блужданий ощупью, на которые я должен был обречь себя в первый раз. И наоборот, мое время не было бы потеряно, если бы эти самые блуждания привели меня к открытию глубокой аналогии изучаемой мною проблемы с гораздо более обширным классом других проблем; если бы благодаря этим блужданиям я узрел одновременно сходства и различия, словом, если бы они обнаружили передо мной возможность некоторого обобщения. Я приобрел бы тогда не новый факт, а новую силу.

Une formule algébrique qui nous donne la solution d'un type de problèmes numériques, pourvu que l'on remplace à la fin les lettres par des nombres, est l'exemple simple qui se présente tout d'abord à l'esprit. Grâce à elle un seul calcul algébrique nous épargne la peine de recommencer sans cesse de nouveaux calculs numériques. Mais ce n'est là qu'un exemple grossier ; tout le monde sent qu'il y a des analogies qui ne peuvent s'exprimer par une formule et qui sont les plus précieuses.

Простым примером, который раньше других приходит на ум, является алгебраическая формула, которая дает нам решение всех численных задач определенного типа, так что достаточно лишь заменить буквы числами. Благодаря такой формуле алгебраическое вычисление, однажды выполненное, избавляет нас от необходимости повторять без конца все новые и новые численные выкладки. Но это уже очень грубый пример; всем известно, что существуют такие аналогии, которые невозможно выразить какой-либо формулой, а между тем они-то и являются наиболее ценными.

Si un résultat nouveau a du prix, c'est quand en reliant des éléments connus depuis longtemps, mais jusque-là épars et paraissant étrangers les uns aux autres, il introduit subitement l'ordre là où régnait l'apparence du désordre. Il nous permet alors de voir d'un coup d'œil chacun de ces éléments et la place qu'il occupe dans l'ensemble. Ce fait nouveau non seulement est précieux par lui-même, mais lui seul donne leur valeur à tous les faits anciens qu'il relie. Notre esprit est infirme comme le sont nos sens ; il se perdrait dans la complexité du monde si cette complexité n'était harmonieuse, il n'en verrait que les détails à la façon d'un myope et il serait forcé d'oublier chacun de ces détails avant d'examiner le suivant, parce qu'il serait incapable de tout embrasser. Les seuls faits dignes de notre attention sont ceux qui introduisent de l'ordre dans cette complexité et la rendent ainsi accessible.

Новый результат мы ценим в том случае, если, связывая воедино элементы давно известные, но до тех пор рассеянные и казавшиеся чуждыми друг другу, он внезапно вводит порядок там, где до тех пор царил, по-видимому, хаос. Такой результат позволяет нам видеть одновременно каждый из этих элементов и место, занимаемое им в общем комплексе. Этот новый факт имеет цену не только сам по себе, но он — и только он один — придает сверх того значение всем старым фактам, связанным им в одно целое. Наш ум так же немощен, как и наши чувства; он растерялся бы среди сложности мира, если бы эта сложность не имела своей гармонии: подобно близорукому человеку, он видел бы одни лишь детали и должен был бы забывать каждую из них, прежде чем перейти к изучению следующей, ибо он не был бы в состоянии охватить разом всю совокупность частностей. Только те факты достойны нашего внимания, которые вводят порядок в этот хаос и делают его, таким образом, доступным нашему восприятию.

Les mathématiciens attachent une grande importance à l'élégance de leurs méthodes et de leurs résultats ; ce n'est pas là du pur dilettantisme. Qu'est-ce qui nous donne en effet dans une solution, dans une démonstration, le sentiment de l'élégance ? C'est l'harmonie des diverses parties, leur symétrie, leur heureux balancement ; c'est en un mot tout ce qui y met de l'ordre, tout ce qui leur donne de l'unité, ce qui nous permet par conséquent d'y voir clair et d'en comprendre l'ensemble en même temps que les détails. Mais, précisément, c'est là aussi ce qui lui donne un grand rendement ; en effet, plus nous verrons cet ensemble clairement et d'un seul coup d'œil, mieux nous apercevrons ses analogies avec d'autres objets voisins, plus par conséquent nous aurons de chances de deviner les généralisations possibles. L'élégance peut provenir du sentiment de l'imprévu par la rencontre inattendue d'objets qu'on n'est pas accoutume à rapprocher ; là encore elle est féconde, puisqu'elle nous dévoile ainsi des parentés jusque-là méconnues ; elle est féconde même quand elle ne résulte que du contraste entre la simplicité des moyens et la complexité du problème posé ; elle nous fait alors réfléchir à la raison de ce contraste et le plus souvent elle nous fait voir que cette raison n'est pas le hagard et qu'elle se trouve dans quelque loi insoupçonnée. En un mot, le sentiment de l'élégance mathématique n'est autre chose que la satisfaction due à je ne sais quelle adaptation entre la solution que l'on vient de découvrir et les besoins de notre esprit, et c'est à cause de cette adaptation même que cette solution peut être pour nous un instrument. Cette satisfaction esthétique est par suite liée à l'économie de pensée. C'est encore la comparaison de l'Erechthéion qui me vient à l'esprit, mais je ne veux pas la resservir trop souvent.

Математики приписывают большое значение изяществу своих методов и результатов, и это не просто дилетантизм. Что, в самом деле, вызывает в нас чувство изящного в каком-нибудь решении или доказательстве? Гармония отдельных частей, их симметрия, их счастливое равновесие,— одним словом, все то, что вносит туда порядок, все то, что сообщает этим частям единство, то, что позволяет нам ясно их различать и понимать целое в одно время с деталями. Но ведь именно эти же свойства сообщают решению большую продуктивность; действительно, чем яснее мы будем видеть этот комплекс в его целом, чем лучше будем уметь обозревать его одним взглядом, тем лучше мы будем различать его аналогии с другими, смежными объектами, тем скорее мы сможем рассчитывать на открытие возможных обобщений. Впечатление изящного может быть вызвано неожиданностью сближения таких вещей, которые мы не привыкли сближать; и в этом случае изящность плодотворна, ибо благодаря ей обнажаются родственные отношения, которых мы не замечали до тех пор; она плодотворна и в том случае, если она обусловливается единственно контрастом между простотой средств и сложностью проблемы; она заставляет нас в этом случае задуматься о причине такого контраста и чаще всего позволяет нам увидеть, что причина не случайна, а таится в том или ином законе, которого мы не подозревали раньше. Одним словам, чувство изящного в матема- тике есть чувство удовлетворения, не скажу, какое именно, но обязанное какому-то взаимному приспособлению между только что найденным решением и потребностями нашего ума; в силу такого именно приспособления найденное решение может служить орудием в наших руках (2). Следовательно, такое эстетическое удовлетворение находится в связи с экономией мышления. Подобно этому, например, кариатиды Эрехтейона (3) кажутся нам изящными по той причине, что они ловко и, гак сказать, весело поддерживают громадную тяжесть и вызывают в нас чувство экономии силы.

C'est pour la même raison que, quand un calcul un peu long nous a conduits à quelque résultat simple et frappant, nous ne sommes pas satisfaits tant que nous n'avons pas montré que nous aurions pu prévoir, sinon ce résultat tout entier, du moins ses traits les plus caractéristiques. Pourquoi ? Qu'est-ce qui nous empêche de nous contenter d'un calcul qui nous a appris, semble-t-il, tout ce que nous désirions savoir ? C'est parce que, dans des cas analogues, le long calcul ne pourrait pas resservir, et qu'il n ‘en est pas de même du raisonnement souvent à demi intuitif qui aurait pu nous permettre de prévoir. Ce raisonnement étant court, on en voit d'un seul coup toutes les parties, de sorte qu'on aperçoit immédiatement ce qu'il y faut changer pour l'adapter à tous les problèmes de même nature qui peuvent se présenter. Et puisqu'il nous permet de prévoir si la solution de ces problèmes sera simple, il nous montre tout au moins si le calcul mérite d'être entrepris.

По той же причине, когда мы с помощью довольно длинных выкладок приходим к какому-нибудь поразительному по своей простоте результату, мы до тех пор не чувствуем себя удовлетворенными, пока не покажем, что мы могли бы предвидеть, если не весь результат в целом, то по крайней мере его наиболее характерные черты. Чем же это объясняется? Что мешает нам удовольствоваться вычислением, раз оно, по-видимому, дало нам все, что мы хотели знать? Объясняется это тем, что в новом аналогичном случае прежнее длинное вычисление не могло бы помочь нам; иначе обстоит дело с рассуждением, наполовину интуитивным, которое позволило бы нам предвидеть результат наперед. Несложность такого рассуждения позволяет одним взглядом охватить все его части, благодаря чему непосредственно бросается в глаза то, что следует в нем изменить для приспособления его ко всем могущим представиться проблемам того же рода. Позволяя, кроме того, предвидеть, насколько просто будет решение этих проблем, такое рассуждение показывает по крайней мере, стоит ли браться за подробное вычисление.

Ce que nous venons de dire suffit pour montrer combien il serait vain de chercher à remplacer par un procédé mécanique quelconque la libre initiative du mathématicien.

Только что сказанного достаточно, чтобы показать, насколько было бы тщетно пытаться заменить свободную инициативу математика каким-нибудь механическим приемом.

Pour obtenir un résultat qui ait une valeur réelle, il ne suffit pas de moudre des calculs ou d'avoir une machine à mettre les choses en ordre ; ce n'est pas seulement l'ordre, c'est l'ordre inattendu qui vaut quelque chose. La machine peut mordre sur le fait brut, l'âme du fait lui échappera toujours.

Для получения действительно ценного результата недостаточно нагромоздить кучу выкладок или иметь машину для приведения всего в порядок; имеет значение не порядок вообще, а порядок неожиданный. Машина может сколько угодно кромсать сырой фактический материал, но то, что мы назвали душой факта, всегда будет ускользать от нее.

Depuis le milieu du siècle dernier, les mathématiciens sont de plus en plus soucieux d'atteindre à l'absolue rigueur ; ils ont bien raison et cette tendance s'accentuera de plus eu plus. En mathématiques la rigueur n'est pas tout, mais sans elle il n'y a rien ; une démonstration qui n'est pas rigoureuse, c'est le néant. Je crois que personne ne contestera cette vérité. Mais si on la prenait trop à la lettre, on serait amené à conclure qu'avant 1820, par exemple, il n'y avait pas de mathématiques ; ce serait manifestement excessif ; les géomètres de ce temps sous-entendaient volontiers ce que nous expliquons par de prolixes discours ; cela ne veut pas dire qu'ils ne le voyaient pas du tout ; mais ils passaient là-dessus trop rapidement, et, pour le bien voir, il aurait fallu qu'ils prissent la peine de le dire.

Начиная с середины истекшего столетия, математики все больше и больше стремятся к достижению абсолютной строгости, и в этом они вполне правы. Это стремление выступает все ярче и ярче. В математике строгость еще не составляет всего, но где ее нет, там нет ничего; нестрогое доказательство — это ничто! Думаю, что с этим никто спорить не станет. Но если толковать эту истину слишком буквально, то окажется, что, например, до 1820 г. не было вовсе математики — утверждение, несомненно, преувеличенное; математики того времени охотно подразумевали то, что мы излагаем в пространных рассуждениях. Это не значит, что они вовсе не замечали этого, но они проходили мимо слишком поспешно; а чтобы хорошо разглядеть проблему, надо было бы взять на себя труд хотя бы высказать ее.

Seulement est-il toujours nécessaire de le direz tant de fois ; ceux qui, les premiers, se sont préoccupés avant tout de la rigueur, nous ont donné des raisonnements que nous pouvons essayer d'imiter ; mais, si les démonstrations de l'avenir doivent être bâties sur ce modèle, les traités de Mathématiques vont devenir bien longs ; et, si je crains les longueurs, ce n'est pas seulement parce que je redoute l'encombrement des bibliothèques, mais parce que je crains qu'en s'allongeant, nos démonstrations perdent cette apparence d'harmonie dont j'ai expliqué tout à l'heure le rôle utile.

Но есть ли необходимость каждый раз подробно останавливаться на этой точности? Те, которые первые выдвинули требование строгой точности на первый план, дали нам образцы рассуждений, которым мы можем стараться подражать; но если будущие доказательства нужно будет всегда строить по этим образцам, то математические трактаты станут чересчур уж длинными; если я боюсь слишком длинных рассуждений, то не из одного только страха перед переполнением библиотек, а главным образом потому, что наши доказательства, все более удлиняясь, потеряют ту внешнюю видимую гармонию, о полезной роли которой я только что говорил.

C'est à l'économie de pensée que l'on doit viser ; ce n'est donc pas assez de donner des modèles à imiter. Il faut qu'on puisse après nous se passer de ces modèles et, au lieu de répéter un raisonnement déjà fait, le résumer en quelques lignes. Et c'est à quoi l'on a déjà réussi quelquefois ; par exemple, il y avait tout un type de raisonnements qui se ressemblaient tous et qu'on retrouvait partout ; ils étaient parfaitement rigoureux, mais ils étaient longs. Un jour, on a imaginé le mot d'uniformité de la convergence et ce mot seul les a rendus inutiles ; on n'a plus eu besoin de les répéter puisqu'on pouvait les sous-entendre. Les coupeurs de difficultés en quatre peuvent donc nous rendre un double service ; c'est d'abord de nous apprendre à faire comme eux au besoin, mais c'est surtout de nous permettre le plus souvent possible de ne pas faire comme eux, sans pourtant rien sacrifier de la rigueur.

Надо иметь в виду экономию мысли; недостаточно только дать образцы для подражания. Надобно, чтобы после нас смогли обойтись без этих образцов, и вместо повторения однажды построенного рассуждения могли бы резюмировать его в нескольких строках. В этом отношении уже сделаны кое-какие успехи. Был, например, некоторый тип сходных между собой рассуждений; они встречались повсюду; они были абсолютно строги, но страдали растянутостью. И вот в один прекрасный день придуман был новый термин "равномерная сходимость", и уже одно это выражение сделало все прежние рассуждения бесполезными; не было больше необходимости повторять их, так как они подразумевались под этим термином. Творцы таких решительных и быстрых приемов преодоления трудностей могут оказать нам двоякую услугу: во-первых, мы учимся поступать в случае надобности подобно им, а во-вторых,— и это наиболее важно — их пример и результаты позволяют нам, и очень часто, не проделывать того, что пришлось делать им, ничем, однако, не жертвуя по отношению к строгости.

Nous venons de voir, par un exemple, quelle est l'importance des mots en Mathématiques, mais j'en pourrais citer beaucoup d'autres. On ne saurait croire combien un mot bien choisi peut économiser de pensée, comme disait Mach. Je ne sais si je n'ai déjà dit quelque part que la Mathématique est l'art de donner le même nom à des choses différentes. Il convient que ces choses, différentes par la matière, soient semblables par la forme, qu'elles puissent, pour ainsi dire, se couler dans le même moule. Quand le langage a été bien choisi, on est tout étonné de voir que toutes les démonstrations, faites pour un objet connu, s'appliquent immédiatement à beaucoup d'objets nouveaux ; on n'a rien à y changer, pas même les mots, puisque les noms sont devenus les mêmes.

Только что мы видели пример того значения, какое в математике имеют слова и выражения; я мог бы привести еще много других примеров. Трудно поверить, какую огромную экономию мысли — как выражается Мах — может осуществить одно хорошо подобранное слово. Я, кажется, уже высказал как-то ту мысль, что математика — это искусство давать одно и то же название различным вещам. Объяснимся подробнее. Надо, чтобы эти вещи, различные по своему содержанию, были сходны по форме, надо, чтобы они, так сказать, могли войти в одну и ту же форму для отливки. Когда названия хорошо подобраны, вдруг с удивлением замечаешь, что все доказательства, проведенные для одного какого-нибудь предмета, непосредственно могут быть приложены к множеству новых предметов, причем не приходится даже ничего в них изменять, даже отдельных слов, ибо названия остались те же.

Un mot bien choisi suffit, le plus souvent, pour faire disparaître les exceptions que comportaient les règles énoncées dans l'ancien langage ; c'est pour cela qu'on a imaginé les quantités négatives, les quantités imaginaires, les points à l'infini, que sais-je encore ? Et les exceptions, ne l'oublions pas, sont pernicieuses, parce qu'elles cachent les lois.

Очень часто бывает достаточно одного удачно подобранного слова, чтобы устранить те исключения, которые содержались в правилах, выраженных на старом языке. С этой именно целью придуманы были отрицательные и мнимые количества, точки в бесконечности и т. д. А ведь исключения вредны, ибо они заменяют законы.

Eh bien, c'est l'un des caractères auxquels on reconnaît les faits à grand rendement, ce sont ceux qui permettent ces heureuses innovations de langage. Le fait brut est alors quelquefois sans grand intérêt ; on a pu le signaler bien des fois sans avoir rendu grand service à la science ; il ne prend de valeur que le jour où un penseur mieux avisé aperçoit le rapprochement qu'il met en évidence et le symbolise par un mot.

Итак, одним из характерных признаков, отличающих факты большой продуктивности, является их свойство допускать эти счастливые нововведения в языке. Сам по себе голый факт часто бывает лишен особенного значения; его можно не раз отмечать, не оказывая этим науке сколько-нибудь значительной услуги; свое значение он приобретает лишь с того дня, когда более проницательный мыслитель подметит сходство, которое он извлекает на свет и символически обозначает тем или другим термином.

Les physiciens, d'ailleurs, agissent absolument de même ; ils ont inventé le mot d'énergie, et ce mot a été prodigieusement fécond, parce que lui aussi créait la loi en éliminant les exceptions, parce qu'il donnait le même nom à des choses différentes par la matière et semblables par la forme.

У физиков мы встречаемся с совершенно таким же приемом. Они, например, придумали слово энергия, и это слово оказалось удивительно плодотворным. Изгнав исключения, оно тоже создало закон; оно дало также одно название вещам, различным по содержанию, но сходным по форме.

Parmi les mots qui ont exercé la plus heureuse influence, je signalerai ceux de groupe et d'invariant. Ils nous ont fait apercevoir l'essence de bien des raisonnements mathématiques ; ils nous ont montré dans combien de cas les anciens mathématiciens considéraient des groupes sans le savoir, et comment, se croyant bien éloignés les uns des autres, ils se trouvaient tout à coup rapprochés sans comprendre pourquoi.

Из слов, имевших наиболее счастливое влияние, я отмечу названия "группа" и "инвариант". Эти слова позволили нам проникнуть в сущность многих математических рассуждений. Они нам показали, как часто древние математики рассматривали группы, сами того не замечая, как они, считая себя отдаленными друг от друга целой пропастью, вдруг сходились вместе, не понимая, как это могло случиться.

Nous dirions aujourd'hui qu'ils avaient envisage des groupes isomorphes. Nous savons maintenant que, dans un groupe, la matière nous intéresse peu, que c'est la forme seule qui importe, et que, quand on connaît bien un groupe, on connaît par cela même tous les groupes isomorphes ; grâce à ces mots de groupes et d'isomorphisme, qui résument en quelques syllabes cette règle subtile et la rendent promptement familière à tous les esprits, le passage est immédiat et peut se faire en économisant tout effort de pensée. L'idée de groupe se rattache d'ailleurs à celle de transformation. Pourquoi attache-t-on tant de prix à l'invention d'une transformation nouvelle ? Parce que, d'un seul théorème, elle nous permet d'en tirer dix ou vingt ; elle a la même valeur qu'un zéro ajouté à la droite d'un nombre entier.

Теперь мы сказали бы, что они рассматривали так называемые "изоморфные группы". Мы теперь знаем, что в группе нас мало интересует содержание, материал, что одна только форма имеет значение и что когда одна группа хорошо изучена, тем самым становятся известными все группы, с нею изоморфные. Благодаря этим словам — группа, изоморфизм,— резюмирующим в нескольких слогах этот трудно уловимый закон и делающим его сразу для всех знакомым, переход от одной группы к другой, с нею изоморфной, оказывается непосредственным и совершается с большой экономией в работе мысли. С другой стороны, идея группы тесно примыкает к идее преобразования. Почему же приписывают такое громадное значение открытию нового преобразования? Да потому, что из одной какой-нибудь теоремы это преобразование позволяет вывести десятки других теорем; оно имеет такое же значение, как нуль, приставленный справа к целому числу.

Voilà ce qui a déterminé jusqu'ici le sens du mouvement de la science mathématique, et c'est aussi bien certainement ce qui le déterminera dans l'avenir. Mais la nature des problèmes qui se posent y contribue également. Nous ne pouvons oublier quel doit être notre but ; selon moi, ce but est double : notre science confine à la fois à la Philosophie et à la Physique, et c'est pour nos deux voisines que nous travaillons ; aussi nous avons toujours vu et nous verrons encore les mathématiciens marcher dans deux directions opposées.

Вот чем до сих пор обусловливалось направление, в котором развивалась математика; этим же оно, несомненно, будет определяться и в будущем. Но равным образом имеет значение и природа тех проблем, которые требуют своего разрешения. Мы не должны забывать, что должно быть нашей целью; мне она представляется двоякой. Ведь наша наука одновременно граничит и с физикой и с философией; для этих двух наших соседок мы и работаем. Соответственно этому мы всегда видели и будем видеть, что математики движутся в двух прямо противоположных направлениях.

D'une part, la science mathématique doit réfléchir sur elle-même, et cela est utile, parce que réfléchir sur elle-même, c'est réfléchir sur l'esprit humain qui l'a créée, d'autant plus que c'est celle de ses créations pour laquelle il a fait le moins d'emprunts au dehors. C'est pourquoi certaines spéculations mathématiques sont utiles, comme celles qui visent l'étude des postulats, des géométries inaccoutumées, des fonctions à allures étranges. Plus ces spéculations s'écarteront des conceptions les plus communes, et par conséquent de la Nature et des applications, mieux elles nous montreront ce que l'esprit humain peut faire, quand il se soustrait de plus en plus à la tyrannie du monde extérieur, mieux, par conséquent, elles nous le feront connaître en lui-même.

С одной стороны, математике приходится размышлять о себе самой, а это полезно, так как, размышляя о себе, она тем самым размышляет о человеческом уме, создавшем ее, тем более что среди всех, своих творений он, создал математику с наименьшими заимствованиями извне. Вот чем. полезны некоторые математические исследования, каковы, например, .исследования о постулатах, о воображаемых геометриях, о функциях со странным ходом. Чем более эти размышления уклоняются от наиболее общепринятых представлений, а следовательно, и от природы и прикладных вопросов, тем яснее они показывают нам, на что способен человеческий ум, когда он постепенно освобождается от тирании внешнего мира, тем лучше мы ум познаем в его внутренней сущности.

Mais c'est du côté opposé, du côté de la Nature, qu'il faut diriger le gros de notre armée.

Но все же главные силы нашей армии приходится направлять в сторону противоположную, в сторону изучения природы.

Là nous rencontrons le physicien ou l'ingénieur qui nous disent : " Pourriez-vous m'intégrer telle équation différentielle ; j'en aurais besoin d'ici à huit jours en vue de telle construction qui doit être terminée pour cette date. " " Cette équation, répondons-nous, ne rentre pas dans l'un des types intégrables ; vous savez qu'il n'y en a pas beaucoup. "  Oui, je le sais, mais alors à quoi servez-vous ? " Le plus souvent, il suffirait de s'entendre ; l'ingénieur, en réalité, n'a pas besoin de l'intégrale en termes finis ; il a besoin de connaître l'allure générale de la fonction intégrale, ou simplement il voudrait un certain chiffre qui se déduirait facilement de cette intégrale si on la connaissait. Ordinairement on ne la connaît pas, mais on pourrait calculer ce chiffre sans elle, si l'on savait au juste de quel chiffre l'ingénieur a besoin et avec quelle approximation.

Здесь мы встречаемся с физиком или инженером, которые говорят нам: "будьте любезны, проинтегрировать такое-то дифференциальное уравнение; через неделю мне понадобится решение ввиду такого-то сооружения, которое должно быть закончено к такому-то сроку".— "Но это уравнение,.— отвечаем мы,— не входит ни в один тип интегрируемых уравнений; последних, как вам известно, весьма немyого".— "Да, это мне известно, но какой тогда в вас толк?" В большинстве случаев бывает достаточно понять друг друга; в.самом деле, инженер не имеет нужды в интеграле конечной формы; ему надо лишь знать общий ход интегральной функции или попросту ему нужно определенное, числовое значение, которое без труда, можно было бы найти, если бы. интеграл уравнений был известен. Обыкновенно, хотя последний и неизвестен, но можно вычислить, и не зная его, требуемое числовое значение, если только точно известно, какое именно значение нужно инженеру и с какой степенью точности.

Autrefois, on ne considérait une équation comme résolue que quand on en avait exprimé la solution à l'aide d'un nombre fini de fonctions connues ; mais cela n'est possible qu'une fois sur cent à peine. Ce que nous pouvons toujours faire, ou plutôt ce que nous devons toujours chercher à faire, c'est de résoudre le problème qualitativement pour ainsi dire, c'est-à-dire de chercher à connaître la forme générale de la courbe qui représente la fonction inconnue.

В былое время уравнение считалось решенным лишь в том случае, если рашение выражалось с помощью конечного числа известных функций; но, это едва ли возможно даже в одном случае нз ста. Однако мы всегда можем или, вернее, должны стремиться разрешить проблему, так сказать, качественно, т. е, должны стараться уанать общий вид кривой, изображающей неизвестную функцию.

Il reste ensuite à trouver la solution quantitative du problème ; mais, si l'inconnue ne peut être déterminée par un calcul fini, on peut la représenter toujours par une série infinie convergente qui permet de la calculer. Cela peut-il être regardé comme une vraie solution ? On raconte que Newton communiqua à Leibnitz un anagramme à peu près comme ceci : aaaaabbbeeeeii, etc. Leibnitz, naturellement, n'y comprit rien du tout ; mais nous, qui avons la clef, nous savons que cet anagramme veut dire, en le traduisant dans le langage moderne : Je sais intégrer toutes les équations différentielles, et nous sommes amenés à nous dire que Newton avait bien de la chance ou qu'il se faisait de singulières illusions. Il voulait dire, tout simplement, qu'il pouvait former (par la méthode des coefficients indéterminés) une série de puissances satisfaisant formellement à l'équation proposée.

Затем остается найти количественное решение задачи; если неизвестное нельзя определить с помощью конечного вычисления, то его всегда можно представать при помощи бесконечного сходящегося ряда, который и позволит его вычислить. Но можно ли это считать настоящим решением? Рассказывают, что Ньютон сообщил Лейбницу приблизительно такую анаграмму: aaaaabbb eeeeii и т.д. Лейбниц, разумеется, ничего вней не понял. Но нам теперь известен ключ, н мы знаем, что зта анаграмма в переводе на современный язык гласит: "я умею интегрировать все дифференциальные уравнения". Казалось бы, что либо Ньютону сильно повезло, либо он странным образом обманулся. Но в действительности он попросту хотел сказать, что он умеет образовывать .(по способу неопределенных коэффициентов) степенной ряд, формально удовлетворяющий предложенному уравнению.

Une semblable solution ne nous satisferait plus aujourd'hui, et cela pour deux raisons : parce que la convergence est trop lente, et parce que les termes se succèdent sans obéir à cette loi. Au contraire, la série q nous paraît ne rien laisser à désirer, d'abord parce qu'elle converge très vite (cela, c'est pour le praticien qui désire avoir son nombre le plus promptement possible), et ensuite parce que nous apercevons d'un coup d'œil la loi des termes (cela, c'est pour satisfaire les besoins esthétiques du théoricien).

Но нас подобное решение не удовлетворило бы, и вот почему: во-первых, такой ряд сходится очень медленно.; во-вторых, члены его следуют друг за другом без всякого закона. Напротив, ряд Q, например,.не оставляет желать ничего лучшего как потому, что.он сходится очень быстро (это важно для практика, желающего получить нужное ему иисло как можно скорее), так и потому, что мы можем подметить с первого взгляда закон образования членов этого ряда {это служит для удовлетворения эстетических потребностей теоретика).

Mais alors il n'y a plus des problèmes résolus et d'autres qui ne le sont pas ; il y a seulement des problèmes plus ou moins résolus, selon qu'ils le sont par une série de convergence plus ou moins rapide, ou régie par une loi plus ou moins harmonieuse. Il arrive toutefois qu'une solution imparfaite nous achemine vers une solution meilleure. Quelquefois, la série est de convergence si lente que le calcul est impraticable et qu'on a seulement réussi à démontrer la possibilité du problème.

Но в таком случае нет более проблем решенных и проблем нерешенных; есть только проблемы более или менее решенные, смотря по быстроте сходимости ряда, являющегося их решением, или по большей или меньшей гармоничности закона, управляющего образованием членов этих рядов. Иногда случается, что одно несовершенное решение приводит нас к другому, более совершенному. Иногда же ряд сходится так медленно, что вычисление практически невыполнимо, и, таким образом, удается лишь доказать возможность проблемы.

Et alors l'ingénieur trouve cela dérisoire, et il a raison, puisque cela ne l'aidera pas à terminer sa construction pour la date fixée. Il se préoccupe peu de savoir si cela sera utile aux ingénieurs du XXII^e siècle ; nous, nous pensons autrement et nous sommes quelquefois plus heureux d'avoir économisé un jour de travail à nos petits-fils qu'une heure à nos contemporains.

Но инженер считает такой ответ насмешкой над собой, и он прав, ибо действительно такой ответ ему нисколько не поможет окончить сооружение к назначенному сроку. Инженеру мало дела до того, окажет ли это решение услугу инженерам XXII столетия: но мы, математики, держимся другого мнения; часто мы бываем более счастливы, если нам удалось сберечь один день труда наших внуков, чем когда мы сберегаем один час для наших современников.

Quelquefois, en tâtonnant, empiriquement pour ainsi dire, nous arrivons à une formule suffisamment convergente. Que voulez-vous de plus, nous dit l'ingénieur ; et nous, malgré tout, nous ne sommes pas satisfaits ; nous aurions voulu prévoir cette convergence. Pourquoi ? parce que, si nous avions su la prévoir une fois, nous saurions la prévoir une autre fois. Nous avons réussi : c'est peu de chose à nos yeux si nous n'avons sérieusement l'espoir de recommencer.

Иногда ощупью, так сказать эмпирически, мы приходим к достаточно быстро сходящейся формуле. "Чего же вам больше?"— говорит инженер, но мы, вопреки всему, не чувствуем удовлетворения; мы бы хотели предвидеть эту сходимость. Почему? Да потому, что если бы мы сумели предвидеть ее однажды, мы сумели бы сделать это и в другой раз. На этот раз мы удачно справились с вопросом; но это для нас не имеет большого значеня, если мы не надеемся серьезно на повторение удачи и в другой раз.

A mesure que la science se développe, il devient plus difficile de l'embrasser tout entière ; alors on cherche à la couper en morceaux, à se contenter de l'un de ces morceaux : en un mot, à se spécialiser. Si l'on continuait dans ce sens, ce serait un obstacle fâcheux aux progrès de la Science. Nous l'avons dit, c'est par des rapprochements inattendus entre ses diverses parties que ses progrès peuvent se faire. Trop se spécialiser, ce serait s'interdire ces rapprochements. Espérons que des Congrès comme ceux de Heidelberg ou de Rome, en nous mettant en rapport les uns avec les autres, nous ouvriront des vues sur le champ du voisin, nous obligeront à le comparer au nôtre, à sortir un peu de notre petit village ; ils seront ainsi le meilleur remède au danger que je viens de signaler.

По мере развитая науки становится все более трудным охватить ее всю; тогда стараются разбить ее на части и довольствоваться одной такой частью, словом, специализироваться. Но если бы так продолжалось всегда, то это было бы значительным препятствием для прогресса науки, Хак мы говорил-и уже, этот прогресс осуществляется именно благодаря неожиданным сближениям между различными частями науки. А между тем слишком отдаться специализации — значит закрыть себе дорогу к этим сближениям. Будем же надеяться, что конгрессы, подобные Гейдельбергскому и Римскому, создавая между нами общение, откроют перед каждым из нас картину деятельности его соседей, заставят его сравнить их деятельность с его собственной, выйти несколько за пределы своей деревушки и окажутся, таким образом, лучшим средством против отмеченной мною опасности.

Mais je me suis trop attardé à des généralités, il est temps d'entrer dans le détail.

Но я слишком долго останавливаюсь на общих идеях; пора перейти к деталям.

Passons en revue les diverses sciences particulières dont l'ensemble forme les Mathématiques ; voyons ce que chacune d'elles a fait, où elle tend, et ce qu'on peut en espérer. Si les vues qui précèdent sont justes, nous devons voir que les grands progrès du passé se sont produits lorsque deux de ces sciences se sont rapprochées, lorsqu'on a pris conscience de la similitude de leur forme, malgré la dissemblance de leur matière, lorsqu'elles se sont modelées l'une sur l'autre, de telle façon que chacune d'elles puisse profiter de l'autre. Nous devons en même temps entrevoir, dans des rapprochements du même genre, les progrès de l'avenir.

Сделаем обзор различных дисциплин, совокупность которых образует математику. Посмотрим, что сделала каждая из них, каковы ее стремления и чего можно от нее ожидать. Если взгляды, изложенные выше, соответствуют действительности, то мы должны будем увидеть, что в прошлом главные успехи достигались в тех случаях, когда две такие дисциплины сближались к сознанию сходства их форм, невзирая на различие материала, когда они отливались одна по образу другой, благодаря чему каждая из них могла использовать успехи другой. Вместе с тем в сближениях подобного рода мы должны предвидеть и прогресс будущего.

Les progrès de l'Arithmétique ont été plus lents que ceux de l'Algèbre et de l'Analyse, et il est aisé de comprendre pourquoi. Le sentiment de la continuité est un guide précieux qui fait défaut à l'arithméticien ; chaque nombre entier est séparé des autres, il a pour ainsi dire son individualité propre ; chacun d'eux est une sorte d'exception, et c'est pourquoi les théorèmes généraux seront plus rares dans la Théorie des nombres ; c'est pourquoi aussi ceux qui existent seront plus cachés et échapperont plus longtemps aux chercheurs.

Прогресс в области арифметики совершался медленнее, чем в области алгебры и анализа, и легко понять почему. Арифметисты лишены драгоценного руководителя, каким является чувство непрерывности; каждое целое число стоит отдельно от других целых чисел, оно, так сказать, обладает своей собственной индивидуальностью; каждое из них представляет своего рода исключение; вот почему в области чисел так редки общие теоремы, а те, которые существуют, оказываются сравнительно более глубоко скрытыми и дольше ускользают от внимания исследователей.

Si l'Arithmétique est en retard sur l'Algèbre et sur l'Analyse, ce qu'elle a de mieux à faire, c'est de chercher à se modeler sur ces sciences afin de profiter de leur avance. L'arithméticien doit donc prendre pour guide les analogies avec l'Algèbre. Ces analogies sont nombreuses, et si, dans bien des cas, elles n'ont pas encore été étudiées d'assez près pour devenir utilisables, elles sont au moins pressenties depuis longtemps, et le langage même des deux sciences montre qu'on les a aperçues. C'est ainsi qu'on parle de nombres transcendants, et qu'on se rend compte que la classification future de ces nombres a déjà pour image la classification des fonctions transcendantes, et cependant on ne voit pas encore très bien comment on pourra passer d'une classification à l'autre ; mais, si on l'avait vu, cela serait déjà fait, et ce ne serait plus l'œuvre de l'avenir.

Но если арифметика отстала от алгебры и анализа, то лучшее, что она может сделать,— это постараться уподобиться этим наукам, чтобы воспользоваться их успехами Итак, арифметист должен взять в руководители аналогии с алгеброй. Эти аналогии многочисленные, и если во многих случаях они еще не изучены настолько, чтобы их можно было использовать, то во всяком случае их существование предчувствовалось с давних пор; самый язык обеих наук показывает, что эти аналогии были подмечены. Так, говорят о трансцендентных числах, и при этом отдают себе отчет в том, что будущая классификация этих чисел имеет своим прообразом классификацию трансцендентных функций, и в то же время пока еще не видно, как можно будет перейти от одной классификации к другой, но ведь, будь это вполне ясным, этот переход был бы уже выполнен, а не был бы делом будущего.

Le premier exemple qui me vient à l'esprit est la théorie des congruences, où l'on trouve un parallélisme parfait avec celle des équations algébriques. Certainement, on arrivera à compléter ce parallélisme, qui doit subsister, par exemple, entre la théorie des courbes algébriques et celle des congruences à deux variables. Et, quand les problèmes relatifs aux congruences à plusieurs variables seront résolus, ce sera un premier pas vers la solution de beaucoup de questions d'Analyse indéterminée.

Как пример, мне прежде всего приходит на ум теория сравнений, в которой мы видим совершенный параллелизм с теорией алгебраических уравнений. Несомненно, что этот параллелизм будет еще пополнен, например, параллелизмом между теорией алгебраических кривых и теорией сравнений с двумя переменными. А когда проблемы относительно сравнений с многими переменными будут разрешены, это будет первым шагом на пути к решению многих вопросов неопределенного анализа.

Область арифметики, совершенно лишенную всякого единства, представляет собой теория простых (первоначальных) чисел. Здесь найдены только асимптотические законы, да других и нельзя ожидать; но эти законы оказываются изолированными; к ним можно прийти лишь по различным путям, между которыми, по-видимому, невозможно никакое сообщение. Мне кажется, что я предвижу, откуда придет желанное единство, но, конечно, не вполне ясно; несомненно, что все сведется к изучению семейства трансцендентных функций, которые дадут возможность путем изучения их особенных точек и с помощью метода Дарбу (4) вычислить асимптотически известные функции очень больших чисел.

La théorie des équations algébriques retiendra longtemps encore l'attention des géomètres ; les côtés par où l'on peut l'aborder sont nombreux et divers.

Теория алгебраических уравнений еще долго будет привлекать к себе внимание математиков; к ней можно подойти со многих различных между собой сторон,

самой важной является, несомненно, теория групп. Но остается еще вопрос о численном определении корней и об исследовании числа действительных корней. Лагерр (5) показал, что Штурм (6) не сказал последнего слова по этому вопросу.

Лет сорок назад казалось, что изучение инвариантов алгебраических форм поглотит всю алгебру; теперь оно почти заброшено, хотя предмет далеко еще не исчерпан; надо только его расширить, не ограничиваясь, например, инвариантами, относящимися к линейным преобразованиям, но захватывая все те, которые относятся к какой-либо группе. Таким образом, прежде добытые теоремы наведут нас на мысль о других, более общих, которые будут группироваться вокруг них, подобно тому, как кристалл растет в растворе.

Il ne faut pas croire que l'Algèbre soit terminée parce qu'elle nous fournit des règles pour former toutes les combinaisons possibles ; il reste à chercher les combinaisons intéressantes, celles qui satisfont à telle ou telle condition. Ainsi se constituera une sorte d'analyse indéterminée où les inconnues ne seront plus des nombres entiers, mais des polynômes. C'est alors cette fois l'Algèbre qui prendra modèle sur l'Arithmétique, en se guidant sur l'analogie du nombre entier, soit avec le polynôme entier à coefficients quelconques, soit avec le polynôme entier à coefficients entiers.

Не следует думать, что алгебра закончена, раз она дала нам правила образования всех возможных комбинаций; остается еще разыскание интересных комбинаций, удовлетворяющих тому или другому условию. Таким путем может образоваться своего рода неопределенный анализ, в котором неизвестными будут не целые числа, а многочлены.Но здесь уже алгебра будет брать пример с арифметики, руководствуясь аналогией целого числа либо с целым многочленом с произвольными коэффициентами, либо с целым многочленом с целыми же коэффициентами.

Il semble que la Géométrie ne puisse rien contenir qui ne soit déjà dans l'Algèbre ou dans l'Analyse ; que les faits géométriques ne soient autre chose que les faits algébriques ou analytiques exprimés dans un autre langage. On pourrait donc croire qu'après la revue que nous venons de passer, il ne nous restera plus rien à dire qui se rapporte spécialement à la Géométrie. Ce serait méconnaître l'importance même d'un langage bien fait, ne pas comprendre ce qu'ajoute aux choses elles-mêmes la façon d'exprimer ces choses et, par conséquent, de les grouper.

По-видимому, геометрия не может содержать ничего такого, чего не было бы уже в алгебре или в анализе: ведь геометрические факты — это те же факты алгебры или анализа, но только выраженные на другом языке. Казалось бы, поэтому, что после того обзора, который мы сделали, не остается больше ничего сказать, специально относящегося к геометрии. Но думать так — значило бы проглядеть важность самого языка, когда он удачно создан, значило бы не понимать того, что прибавляет к вещам способ обозначения этих .вещей и, следовательно, способ ;их группирования.

D'abord, les considérations géométriques nous amènent à nous poser de nouveaux problèmes ; ce sont bien, si l'on veut, des problèmes analytiques, mais que nous ne nous serions jamais posés à propos d'Analyse. L'Analyse en profite cependant, comme elle profite de ceux qu'elle est obligée de résoudre pour satisfaire aux besoins de la Physique.

И прежде всепо геометриические рассуждения приводят наск постановке новых проблем; конечно, это, если угодно, аналитические проблемы, но анализ никогда не привел бы нас к их постановке. Однако анализ извлекает для себя из этого выгоду, как и из того, что он вынужден разрешать проблемы для удовлетворения потребностей физики.

Un grand avantage de la Géométrie, c'est précisément que les sens y peuvent venir au secours de l'intelligence et aident à deviner la route à suivre, et bien des esprits préfèrent ramener les problèmes d'Analyse à la forme géométrique. Malheureusement, nos sens ne peuvent nous mener bien loin, et ils nous faussent compagnie dès que nous voulons nous envoler en dehors des trois dimensions classiques. Est-ce à dire que, sortis de ce domaine restreint où ils semblent vouloir nous enfermer, nous ne devons plus compter que sur l'Analyse pure et que toute Géométrie à plus de trois dimensions est vaine et sans objet ? Dans la génération qui nous a précédés, les plus grands maîtres auraient répondu " oui" ; nous sommes aujourd'hui tellement familiarisés avec cette notion que nous pouvons en parler, même dans un cours d'université, sans provoquer d'étonnement.

Большое преимущество геометрии состоит именно в том, что в ней чувства могут црийти ,на помощь рассудку и помогают отгадать нужный путь, так что многие предпочитают приводить проблемы анализа к их геометрической форме. К несчастью, наши чувства не могут вести вас особенно далеко, они покидают нас, лишь только мы обнаруживаем желание унестись за три классические измерения. Значит ли это, что, выйдя из той области, в которой они нас, по-видимому, хотят удержать, мы не вправе более .рассчитывать на что-либо, кроме чистого анализа, и что всякая геометрия более чем трех измерений тщетна и бесцельна? Величайшие умы предшествующего нам поколения ответили бы: "да"; мы же теперь так освоились с этим понятием, что можем говорить о нем даже в университетском курсе, не вызывая особенного удивления.

Mais à quoi peut-elle servir ? Il est aisé de le voir : elle nous donne d'abord un langage très commode, qui exprime en termes très concis ce que le langage analytique ordinaire dirait en phrases prolixes. De plus, ce langage nous fait nommer du même nom ce qui se ressemble et affirme des analogies qu'il ne nous permet plus d'oublier. Il nous permet donc encore de nous diriger dans cet espace qui est trop grand pour nous et que nous ne pouvons voir, en nous rappelant sans cesse l'espace visible qui n'en est qu'une image imparfaite sans doute, mais qui en est encore une image. Ici encore, comme dans tous les exemples précédents, c'est l'analogie avec ce qui est simple qui nous permet de comprendre ce qui est complexe.

Но к чему оно нам? Ответ очевиден: оно дает нам прежде всего весьма удобный способ выражения, язык, который в очень немногих словах выражает то, что при обыкновенном аналитическом языке потребовало бы пространных фраз. Мало того: этот язык побуждает нас называть одним и тем же именем сходные между собой вещи и закрепляет аналогии, делая невозможным забвение их. Он дает нам возможность ориентироваться в этом пространстве, слишком громадном для нас, которого мы не можем обнять иначе, как вызывая перед собой постоянно образ видимого пространства, хотя последнее представляет собой лишь весьма несовершенное его изображение. И тут, как и в предыдущих примерах, аналогия с тем, что просто, помогает нам понять то, что сложно.

Cette Géométrie à plus de trois dimensions n'est pas une simple Géométrie analytique ; elle n'est pas purement quantitative ; elle est aussi qualitative, et c'est par là surtout qu'elle devient intéressante. Il y a une science qu'on appelle l'Analysis Situs et qui a pour objet l'étude des relations de positions des divers éléments d'une figure, abstraction faite de leurs grandeurs. Cette géométrie est purement qualitative ; ses théorèmes resteraient vrais si les figures, au lieu d'être exacte, étaient grossièrement imitées par un enfant. L'importance de l'Analysis Situs est énorme et je ne saurais trop y insister ; le parti qu'en a tiré Riemann, l'un de ses principaux créateurs, suffirait à le démontrer. Il faut qu'on arrive à la construire complètement dans les espaces supérieurs ; on aura alors un instrument qui permettra réellement de voir dans l'hyperespace et de suppléer à nos sens.

Эта геометрия пространств, имеющих более трех измерений, не является простой аналитической геометрией; она имеет характер не исключительно количественный, но также и качественный, и этим-то она особенно интересна. Есть дисциплина, которую называют "Analysis situs" и предметом изучения которой являются соотношения расположений различных элементов фигуры независимо от их величины. Эта геометрия — чисто качественная: ее теоремы остались бы справедливыми, если бы точные фигуры были заменены грубыми изображениями, созданными ребенком, Можно построить также Analysis situs более чем трех измерений. Важность Analysis situs огромна, и я не думаю, чтобы его значение могло быть преувеличено; это достаточно подтверждается той пользой, которую из него извлек Риман (7), один из главных творцов этой дисциплины. Нужно дойти до ее полного построения в пространствах высшего порядка; тогда у нас будет в руках такое орудие, которое позволит действительно видеть в гиперпространстве и расширить область наших чувственных восприятий.

Les problèmes de l'Analysis Situs ne se seraient peut-être pas posés si on n'avait parlé que le langage analytique ; ou plutôt, je me trompe, ils se seraient posés certainement, puisque leur solution est nécessaire à une foule de questions d'Analyse ; mais ils se seraient posés isolément, les uns après les autres, et sans qu'on en puisse apercevoir le lien commun.

Быть может, проблемы Analysis situs не были бы даже поставлены, если бы пользовались только языком анализа; впрочем, нет, я ошибаюсь: они были бы, несомненно, поставлены, ибо их разрешение необходимо для множества вопросов анализа, но наверное изолированно, так что нельзя было бы вовсе усмотреть их общей связи.

Особенно содействовало недавнему успеху геометрии введение понятия о преобразованиях и группах. Благодаря этому понятию геометрия перестала быть агрегатом теорем, более или менее интересных, но следующих одна за другой без всякого сходства между ними, она приобрела единство. А с другой стороны, история не должна забывать того, что именно по поводу геометрии начали систематически исследовать непрерывные преобразования, так что чистые геометры со своей стороны также содействовали развитию идеи группы, идеи, столь полезной в других отраслях математики.

J'ai parlé plus haut du besoin que nous avons de remonter sans cesse aux premiers principes de notre science et du profit qu'en peut tirer l'étude de l'esprit humain. C'est ce besoin qui a inspiré deux tentatives qui ont tenu une très grande place dans l'histoire la plus récente des Mathématiques. La première est le cantorisme, qui a rendu à la science les services que l'on sait. Cantor a introduit dans la science une manière nouvelle de considérer l'infini mathématique et nous aurons l'occasion d'en reparler au chapitre VII. Un des traits caractéristiques du cantorisme, c'est qu'au lieu de s'élever au général en bâtissant des constructions de plus en plus compliquées et de définir par construction, il part du genus supremum et ne définit, comme auraient dit les scolastiques, que per genus proximum et differentiam specificam.

Выше я говорил о представляющейся нам необходимости постоянно восходить к основным принципам нашей науки и о той пользе, которую отсюда может извлечь наука о человеческом духе. Эта потребность породила два стремления, занявшие весьма обширное место на самых последних страницах истории математики. Первое из них — канторизм, заслуги которого перед наукой известны. Одна из характерных черт канторизма состоит в том, что вместо того, чтобы подниматься к общему, строя все более и более сложные конструкции, и вводить определения через построения, он исходит из genus supremum (8) и дает определения только per genus proximum et differentiam specificam (9), как сказали бы схоластики.

De là l'horreur qu'il a quelque temps inspirée à certains esprits, à Hermite, par exemple, dont l'idée favorite était de comparer les sciences mathématiques aux sciences naturelles. Chez la plupart d'entre nous, ces préventions s'étaient dissipées ; mais il est arrivé qu'on s'est heurté à certains paradoxes, à certaines contradictions apparentes, qui auraient comblé de joie Zénon d'Elée et l'Ecole de Mégare. Et alors chacun de chercher le remède. Je pense pour mon compte, et je ne suis pas le seul, que l'important c'est de ne jamais introduire que des êtres que l'on puisse définir complètement en un nombre fini de mots. Quel que soit le remède adopté, nous pouvons nous promettre la joie du médecin appelé à suivre un beau cas pathologique.

Этим объясняется тот ужас, который он некоторое время тому назад вызвал в иных умах, например у Эрмита, излюбленной идеей которого является сравнение математических наук с естественными. У большинства из нас эти предубеждения уже рассеялись, но случилось так, что натолкнулись на некоторые парадоксы, которые привели бы в восторг Зенона Элейского(10) и мегарскую школу (11). И тогда все пустились в поиски за противоядием. Я держусь того мнения — и не я один,— что важно вводить в рассмотрение исключительно такие вещи, которые можно вполне определить при помощи конечного количества слов. Но какое бы противоядие ни было признано действительным, мы можем предвкушать наслаждение врача, имеющего возможность наблюдать интересный патологический случай.

On s'est efforcé, d'autre part, d'énumérer les axiomes et les postulats plus ou moins dissimulés qui servent de fondement aux diverses théories mathématiques. M. Hilbert a obtenu les résultats les plus brillants. Il semble d'abord que ce domaine soit bien limité et qu'il n'y ait plus rien à y faire quand l'inventaire sera terminé, ce qui ne saurait tarder. Mais, quand on aura tout énuméré, il y aura bien des manières de tout classer ; un bon bibliothécaire trouve toujours à s'occuper, et chaque classification nouvelle sera instructive pour le philosophe.

С другой стороны, мы видим попытки перечислить те более или менее скрытые аксиомы и постулаты, которые служат основанием для различных математических теорий. Самые блестящие результаты получил Гильберт. На первый взгляд эта область кажется довольно ограниченной; кажется, что когда перечень будет закончен — а это не замедлит произойти,— нечего будет больше делать. Но когда все будет перечислено, тогда найдется множество приемов для классификации всего материала; хороший библиотекарь всегда находит себе занятие, а каждая новая классификация будет поучительна для философа.

J'arrête cette revue, que je ne saurais songer à rendre complète. Je pense que ces exemples auront suffi pour vous montrer par quel mécanisme les sciences mathématiques ont progressé dans le passé, et dans quel sens elles doivent marcher dans l'avenir.

Этим я кончаю мой обзор, которого я не мог и рассчитывать сделать полным по множеству причин, и прежде всего потому, что я и без того уже слишком злоупотребил вашим вниманием. Думаю, что приведенных примеров будет достаточно, для того чтобы показать вам, в чем состоял механизм прогресса математических наук в прошлом и в каком направлении они должны будут двигаться в будущем.