Pour justifier ses prétentions, la logique a dû se transformer. On a vu naître des logiques nouvelles dont la plus intéressante est celle de M. Russell. Il semble qu'il n'y ait rien à écrire de nouveau sur la logique formelle et qu'Aristote en ait vu le fond. Mais le champ que M. Russell attribue à la logique est infiniment plus étendu que celui de la logique classique et il a trouvé moyen d'émettre sur ce sujet des vues originales et parfois justes.

Чтобы оправдать свои притязания, логика должна была преобразоваться. Народились новые логики, среди которых наиболее интересной является логика Рассела. Казалось бы, что в области формальной логики ничего нового нельзя сказать и что Аристотель давно узрел ее основы. Но поле действия, которое Рассел отводит логике, бесконечно шире, чем поле классической логики, и Рассел сумел высказать в этом отношении оригинальные и часто правильные взгляды.

D'abord, tandis que la logique d'Aristote était avant tout la logique des classes et prenait pour point de départ la relation de sujet à prédicat, M. Russell subordonne la logique des classes à celle des propositions. Le syllogisme classique " Socrate est un homme ", etc., fait place au syllogisme hypothétique : Si A est vrai, B est vrai, or si B est vrai C est vrai, etc. Et c'est là, à mon sens, une idée des plus heureuses, car le syllogisme classique est facile à ramener au syllogisme hypothétique, tandis que la transformation inverse ne se fait pas sans difficulté.

Между тем как логика Аристотеля была преимущественно логикой классов и за исходную точку брала отношение субъекта к предикату, Рассел прежде всего подчиняет логику классов логике предложений. Классический силлогизм "Сократ — человек и т. д." уступает место гипотетическому силлогизму: если A истинно, то В истинно, но если В истинно, то С истинно и т. д.; и эта идея, на мой взгляд, одна из наиболее счастливых, ибо классический силлогизм легко свести к гипотетическому, тогда как обратное превращение представляет затруднение.

Et puis ce n'est pas tout : la logique des propositions de M. Russell est l'étude des lois suivant lesquelles se combinent les conjonctions si, et, ou, et la négation ne pas. C'est une extension considérable de l'ancienne logique. Les propriétés du syllogisme classique s'étendent sans peine au syllogisme hypothétique et, dans les formes de ce dernier, on reconnaît aisément les formes scolastiques; on retrouve ce qu'il y a d'essentiel dans la logique classique. Mais la théorie du syllogisme n'est encore que la syntaxe de la conjonction si et peut-être de la négation.

Но это не все: логика предложений Рассела есть этюд о законах, по которым комбинируются союзы "если", "и", "или" и отрицание "не". Это значительное расширение старой логики. Свой-тва классического силлогизма без труда распространяются на гипотетический силлогизм, и в формах последнего легко узнаются схоластические формы. Мы находим здесь то, что является существенным в классической логике. Но теория силлогизма есть еще не что иное, как синтаксис союза "если" и, быть может, отрицания.

En y adjoignant deux autres conjonctions et et ou, M. Russell ouvre à la logique un domaine nouveau. Les signes et, ou suivent les mêmes lois que les deux signes x et +, c'est-à-dire les lois commutative, associative et distributive. Ainsi et représente la multiplication logique, tandis que ou représente l'addition logique. Cela aussi est très intéressant.

Присоединяя два других союза — "и" и "или", — Рассел открывает логике новую область. Знаки "и", "или" подчиняются тем же законам, что и знаки * и +, т. е. переместительному, сочетательному и распределительному законам. Таким образом, "и" представляет логическое умножение, тогда как "или" представляет логическое сложение. Это также весьма интересно.

M. B. Russell arrive à cette conclusion qu'une proposition fausse quelconque implique toutes les autres propositions vraies ou fausses. M. Couturat dit que cette conclusion semblera paradoxale au premier abord. Il suffit cependant d'avoir corrigé une mauvaise thèse de mathématique, pour reconnaître combien M. Russell a vu juste. Le candidat se donne souvent beaucoup de mal pour trouver la première équation fausse ; mais dès qu'il l'a obtenue, ce n'est plus qu'un jeu pour lui d'accumuler les résultats les plus surprenants, dont quelques-uns même peuvent être exacts.

Рассел приходит к выводу, что какое-нибудь ложное предложение заключает в себе и все прочие истинные или ложные предложения. Кутюра говорит, что этот вывод покажется на первый взгляд парадоксальным. Но кто исправлял плохую кандидатскую математическую работу, тот мог заметить, насколько правильно смотрит на дело Рассел. Кандидат часто много трудится для того, чтобы найти первое ложное уравнение; но лишь только он его получил, для него уже не представляет никакого труда сделать из него самые неожиданные выводы, из которых иные могут оказаться и точными.

On voit combien la nouvelle logique est plus riche que la logique classique ; les symboles se sont multipliés et permettent des combinaisons variées qui ne sont plus en nombre limité. A-t-on le droit de donner cette extension au sens du mot logique ? Il serait oiseux d'examiner cette question, et de chercher à M. Russell une simple querelle de mots. Accordons-lui ce qu'il demande ; mais ne nous étonnons pas si certaines vérités, que l'on avait déclarées irréductibles à la logique, au sens ancien du mot, se trouvent être devenues réductibles à la logique, au sens nouveau, qui est tout différent.

Отсюда ясно, насколько новая логика богаче классической логики. Символы разрослись и сочетаются в разнообразные комбинации, число которых уже неограничено. Вправе ли мы так сильно расширять смысл слова "логика". Разбирать этот вопрос и вступать с Расселом в спор о слове — занятие бесцельное. Признаем то, чего требует Рассел, но не будем удивляться, если окажется, что некоторые истины, которые мы считали несводимыми к логике в старом смысле этого слова, теперь сводятся к новой логике, которая совершенно отличается от прежней.

Nous avons introduit un grand nombre de notions nouvelles ; et ce n'étaient pas de simples combinaisons des anciennes ; M. Russell ne s'y est d'ailleurs pas trompé, et non seulement au début du premier chapitre, c'est-à-dire de la logique des propositions, mais au début du second et du troisième, c'est-à-dire de la logique des classes et des relations, il introduit des mots nouveaux qu'il déclare indéfinissables.

Мы ввели большое число новых понятий, и эти понятия не были простыми комбинациями старых. Рассел на этот счет не обманывался; не только в начале первой главы, т. е. логики предложений, но в начале второй и третьей глав, т, е. логики классов и отношений, он вводит новые слова, которые принимает как определению не подлежащие.

Et ce n'est pas tout, il introduit également des principes qu'il déclare indémontrables. Mais ces principes indémontrables, ce sont des appels à l'intuition, des jugements synthétiques a priori. Nous les regardions comme intuitifs quand nous les rencontrions, plus ou moins explicitement énoncés, dans les traités de mathématiques ; ont-ils changé de caractère parce que le sens du mot logique s'est élargi et que nous les trouvons maintenant dans un livre intitulé Traité de logique ? Ils n'ont pas changé de nature ; ils ont seulement changé de place.

Но это не все, он вводит также принципы, которые признает недоказуемыми. Но эти недоказуемые принципы являются обращениями к интуиции, являются априорными синтетическими суждениями. Мы принимали их за интуитивные, когда встречали их в более или менее явной форме в математических трактатах. Но изменился ли их характер от того, что смысл слова "логика" расширился и что мы находим их теперь в книге, носящей заголовок "Трактат по логике"? Они не изменили своей природы, они изменили лишь свое место.

Ces principes pourraient-ils être considérés comme des définitions déguisées ?

Можно ли рассматривать эти принципы как скрытые определения?

Pour cela il faudrait que l'on eût le moyen de démontrer qu'ils n'impliquent pas contradiction. Il faudrait établir que, quelque loin qu'on poursuive la série des déductions, on ne sera jamais exposé à se contredire.

Чтобы дать положительный ответ на этот вопрос, нужно было бы быть в состоянии доказать, что они не заключают в себе противоречия. Нужно установить, что, как бы далеко мы ни проводили ряд дедукций, мы никогда не впадем в противоречие с собой.

On pourrait essayer de raisonner comme il suit : Nous pouvons vérifier que les opérations de la nouvelle logiques appliquées à des prémisses exemptes de contradiction ne peuvent donner que des conséquences également exemptes de contradiction. Si donc après n opérations, nous n'avons pas rencontré de contradictions, nous n'en rencontrerons pas non plus après la n + 1^ème. Il est donc impossible qu'il y ait un moment où la contradiction commence, ce qui montre que nous n'en rencontrerons jamais. Avons-nous le droit de raisonner ainsi ? Non, car ce serait faire de l'induction complète ; et, le principe d'induction complète, rappelons-le bien, nous ne le connaissons pas encore.

Можно было бы попытаться рассуждать таким образом. Мы можем проверить, что операции новой логики, будучи приложены к посылкам, не заключающим противоречия, приводят только к следствиям, также свободным от противоречия. Если, следовательно, после n операций мы не пришли к противоречию, то мы не придем к противоречию после n + 1 операций. Невозможно, следовательно, наступление такого момента, когда противоречие началось бы, а это доказывает, что мы никогда не можем к нему прийти. Вправе ли мы так рассуждать? Нет, ибо это значило бы прибегнуть к полной индукции; принцип же полной индукции, будем это помнить, еще нам неизвестен.

Nous n'avons donc pas le droit de regarder ces axiomes comme des définitions déguisées et il ne nous reste qu'une ressource, il faut pour chacun d'eux admettre un nouvel acte d'intuition. C'est bien d'ailleurs, à ce que je crois, la pensée de M. Russell et de M. Couturat.

Мы не вправе, следовательно, рассматривать эти аксиомы как скрытые определения, и нам остается только один исход: допустить для каждой из них новый акт интуиции. И такова именно, я думаю, мысль Рассела и Кутюра.

Ainsi, chacune des neuf notions indéfinissables et des vingt propositions indémontrables (je crois bien que si c'était moi qui avais compté, j'en aurais trouvé quelques-unes de plus) qui font le fondement de la logique nouvelle, de la logique au sens large, suppose un acte nouveau et indépendant de notre intuition et, pourquoi ne pas le dire, un véritable jugement synthétique a priori. Sur ce point tout le monde semble d'accord, mais ce que M. Russell prétend, et ce qui me paraît douteux, c'est qu'après ces appels à l'intuition, ce sera fini ; on n'aura plus à en faire d'autres et on pourra constituer la mathématique tout entière sans faire intervenir aucun élément nouveau.

Таким образом, каждое из девяти неопределяемых понятий и каждое из двадцати недоказуемых предложений (я думаю, что если бы я считал, то насчитал бы их несколько больше), которые составляют основу новой логики, логики в широком смысле слова, предполагают акт новый, независимый от нашей интуиции, предполагают — почему этого не сказать? — настоящее синтети ческое априорное суждение. В этом вопросе все, кажется, согласны. Но Рассел утверждает, что этими обращениями к интуиции дело и закончится, что в других обращениях не будет более нужды и можно будет построить всю математику, не вводя никакого нового элемента. Это мне и кажется сомнительным.

M. Couturat répète souvent que cette logique nouvelle est tout à fait indépendante de l'idée de nombre. Je ne m'amuserai pas à compter combien son exposé contient d'adjectifs numéraux, tant cardinaux qu'ordinaux, ou d'adjectifs indéfinis, tels que plusieurs. Citons cependant quelques exemples :

Кутюра часто повторяет, что эта новая логика совершенно не зависит от идеи о числе. Я не стану подсчитывать, как часто в его изложении встречаются числительные, как количественные, так и порядковые, или неопределенные прилагательные, как, например, "несколько". Процитируем, однако, некоторые примеры:

" Le produit logique de deux ou plusieurs propositions est " ;

"Логическое произведение двух или нескольких предложений есть...".

" Toutes les propositions sont susceptibles de deux valeurs seulement, le vrai et le faux " ;

"Все предложения допускают только двоякую оценку: как истинные или как ложные".

" Le produit relatif de deux relations est une relation " ;

"Относительное произведение двух отношений есть отношение".

" Une relation a lieu entre deux termes, " etc., etc.

"Отношение имеет место между двумя терминами" и т. д.

Quelquefois cet inconvénient ne serait pas impossible à éviter, mais quelquefois aussi il est essentiel. Une relation est incompréhensible sans deux termes ; il est impossible d'avoir l'intuition de la relation, sans avoir en même temps celle de ses deux termes, et sans remarquer qu'ils sont deux, car pour que la relation soit concevable, il faut qu'ils soient deux et deux seulement.

В некоторых случаях можно было бы избежать неудобства такого выражения, но иногда оно требуется существом дела. Отношение не может быть понято без двух терминов; нельзя иметь интуиции отношения, не имея в то же время интуиции двух его терминов; мало того, мы должны усмотреть, что есть два термина, ибо для того, чтобы можно было постигнуть отношение, необходимо, чтобы этих терминов было два и только два.

J'arrive à ce que M. Couturat appelle la théorie ordinale et qui est le fondement de l'arithmétique proprement dite. M. Couturat commence par énoncer les cinq axiomes de Peano, qui sont indépendants, comme l'ont démontré MM. Peano et Padoa.

Я подхожу к тому, что Кутюра называет теорией расположения (или порядка) и что является основанием арифметики в собственном смысле этого слова. Кутюра начинает с формулировки пяти аксиом Пеано, независимость которых доказали Пеано и Падоа.

1. Zéro est un nombre entier.

1. Нуль есть целое число.

2. Zéro n'est le suivant d'aucun nombre entier.

2. Нуль не следует ни за каким целым числом.

3. Le suivant d'un entier est un entier auquel il conviendrait d'ajouter tout entier a un suivant.

3. Следующее за целым числом есть целое число; к этому следовало бы прибавить: всякое целое число имеет следующее за ним число.

4. Deux nombres entiers sont égaux, si leurs suivants le sont.

4. Два целых числа равны, если равны следующие за ними числа.

Le 5^e axiome est le principe d'induction complète.

Пятая аксиома есть принцип полной индукции.

M. Couturat considère ces axiomes comme des définitions déguisées ; ils constituent la définition par postulats de zéro, du " suivant ", et du nombre entier.

Кутюра смотрит на эти аксиомы как на скрытые определения; они содержат выраженные при помощи постулатов определения нуля, целого числа и "следующего числа".

Mais nous avons vu que pour qu'une définition par postulats puisse être acceptée, il faut que l'on puisse établir qu'elle n'implique pas contradiction.

Но, как мы видели, для того чтобы основанное на постулах определение могло быть принято, необходимо установить, что оно не заключает противоречия.

Est-ce le cas ici ? Pas le moins du monde.

Имеем ли мы дело здесь с таким именно случаем? Нисколько.

La démonstration ne peut se faire par l'exemple. On ne peut choisir une partie des nombres entiers, par exemple les trois premiers, et démontrer qu'ils satisfont à la définition.

Доказательства этого нельзя дать с помощью примера. Нельзя выбрать часть всех целых чисел, например первые три числа, и доказать, что они удовлетворяют определению.

Si je prends la série 0, 1, 2, je vois bien qu'elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4 et 5 ; mais, pour qu'elle satisfasse à l'axiome 3, il faut encore que 3 soit un entier, et par conséquent que la série 0, 1, 2, 3 satisfasse aux axiomes ; on vérifierait qu'elle satisfait aux axiomes 1, 2, 4, 5, mais l'axiome 3 exige en outre que soit un entier et que la série 0, 1, 2, 3, 4 satisfasse aux axiomes, et ainsi de suite.

Если я возьму ряд 0,1,2, то увижу, что он удовлетворяет аксиомам 1, 2, 4, 5. Но, для того чтобы он удовлетворял третьей аксиоме, необходимо еще, чтобы 3 было целым числом, следовательно, чтобы ряд 0, 1, 2, 3 удовлетворял всем аксиомам. При проверке окажется, что ряд 0,1, 2, 3 удовлетворяет аксиомам 1, 2, 4, 5, но третья аксиома требует, сверх того, чтобы 4 было целым числом и чтобы ряд 0, 1, 2, 3, 4 удовлетворял всем аксиомам, и т. д.

Il est donc impossible de démontrer les axiomes pour quelques nombres entiers sans les démontrer pour tous, il faut renoncer à la démonstration par l'exemple.

Нет, следовательно, возможности доказать аксиомы для нескольких целых чисел, не доказывая их для всех. Приходится отказаться от доказательства путем примера.

Il faut alors prendre toutes les conséquences de nos axiomes et voir si elles ne contiennent pas de contradiction. Si ces conséquences étaient en nombre fini, cela serait facile ; mais elles sont en nombre infini, c'est toutes les mathématiques, ou au moins toute l'arithmétique.

Остается собрать все выводы из наших аксиом и рассмотреть, не заключают ли они в себе противоречия. Если бы число этих выводов было конечное, то это было бы легко сделать; но число выводов бесконечно велико, они охватывают всю математику или по крайней мере всю арифметику.

Alors que faire ? Peut-être à la rigueur pourrait-on répéter le raisonnement du n° 3.

Что же делать? Быть может, повторить рассуждение, указанное в разделе III.

Mais, nous l'avons dit, ce raisonnement, c'est de l'induction complète, et c'est précisément le principe d'induction complète qu'il s'agirait de justifier.

Но мы уже сказали, что это рассуждение основано на полной индукции, а между тем дело идет именно о том, чтобы оправдать принцип полной индукции.

J'arrive maintenant au travail capital de M. Hilbert qu'il a communiqué au Congrès des Mathématiciens à Heidelberg, et dont une traduction française due à M. Pierre Boutroux a paru dans l'Enseignement Mathématique, pendant qu'une traduction anglaise due à M. Halsted paraissait dans The Monist. Dans ce travail, où l'on trouvera les pensées les plus profondes, l'auteur poursuit un but analogue à celui de M. Russell, mais sur bien des points il s'écarte de son devancier.

Я перехожу теперь к тому капитальному труду Гильберта, о котором последний сделал сообщение на Математическом конгрессе в Гейдельберге. Французский перевод этого труда, сделанный Пьером Бутру, появился в "Математическом образовании"; английский перевод, сделанный Халстедом, появился в "The Monist". В этом труде, изобилующем самыми глубокими мыслями, автор преследует такую же цель, как и Рассел, но во многих случаях отклоняется от своего предшественника.

"Если мы присмотримся ближе, — говорит он, — то мы заметим, что логические принципы, в той форме, в какой их обыкновенно представляют, уже включают в себя известные арифметические понятия, как, например, понятие совокупности, а, в некоторой мере, и понятие о числе. Таким образом, мы находимся как бы в заколдованном круге, и вот почему, во избежание всякого парадокса, мне кажется необходимым развивать одновременно логику и принципы арифметики".

Nous avons vu plus haut, que ce que dit M. Hilbert des principes de la Logique tels qu'on a coutume de les présenter, s'applique également à la logique de M. Russell. Ainsi, pour M. Russell, la logique est antérieure à l'Arithmétique ; pour M. Hilbert, elles sont " simultanées ". Nous trouverons plus loin d'autres différences plus profondes encore. Mais nous les signalerons à mesure qu'elles se présenteront ; je préfère suivre pas à pas le développement de la pensée de Hilbert, en citant textuellement les passages les plus importants.

Как мы видели выше, то, что Гильберт говорит о принципах логики в той форме, в какой их себе обыкновенно представляют, одинаково приложимо и к логике Рассела. Для Рассела логика предшествует арифметике; для Гильберта они "одновременны". Мы встретимся ниже с другими, более глубокими различиями, но мы будем их отмечать по мере того, как они перед нами предстанут; я предпочитаю следить шаг за шагом за развитием мысли Гильберта и цитировать текстуально наиболее важные места его работы.

" Prenons tout d'abord en considération l'objet 1. " Remarquons qu'en agissant ainsi nous n'impliquons nullement la notion de nombre, car il est bien entendu que 1 n'est ici qu'un symbole et que nous ne nous préoccupons nullement d'en connaître la signification. " Les groupes formés avec cet objet, deux, trois ou plusieurs fois répété… " Ah, cette fois-ci, il n'en est plus de même, si nous introduisons les mots deux, trois et surtout plusieurs, nous introduisons la notion de nombre ; et alors la définition du nombre entier fini que nous trouverons tout à l'heure, arrivera bien tard. L'auteur était beaucoup trop avisé pour ne pas s'apercevoir de cette pétition de principe. Aussi, à la fin de son travail, cherche-t-il à procéder à un vrai replâtrage.

"Рассмотрим прежде всего предмет 1". Заметим, что в это рассмотрение мы отнюдь не включаем понятия о числе, ибо само собой разумеется, что 1 в данном случае является только символом и что мы не стремимся узнать его значение. "Группы, образованные этим предметом, повторенным два, три или несколько раз..." Ну, здесь уже дело меняется; если мы вводим слова "два", "три", и, в особенности, "несколько", мы вводим понятие числа, а в таком случае понятие конечного целого числа, к которому нас приведет это рассуждение, окажется запоздалым. Автор был слишком предусмотрителен, чтобы не заметить этого petitio principii. В конце своего труда он пытается загладить погрешность.

Hilbert introduit ensuite deux objets simples 1 et = et envisage toutes les combinaisons de ces deux objets, toutes les combinaisons de leurs combinaisons, etc. Il va sans dire qu'il faut oublier la signification habituelle de ces deux signes et ne leur en attribuer aucune. Il répartit ensuite ces combinaisons en deux classes, celle des êtres et celle des non-êtres et jusqu'à nouvel ordre cette répartition est entièrement arbitraire ; toute proposition affirmative nous apprend qu'une combinaison appartient à la classe des êtres ; toute proposition négative nous apprend qu'une certaine combinaison appartient a celle des non-êtres.

Гильберт вводит затем два простых предмета 1 и =, рассматривает все комбинации из этих двух предметов, затем комбинации этих комбинаций и т. д. Само собой разумеется, что при этом нужно забыть обычное значение этих двух знаков, не нужно приписывать им никакого значения. Затем Гильберт распределяет эти комбинации в два класса, в класс "сущего" и в класс "не сущего", и впредь до следующего соглашения это распределение совершенно произвольно. Всякое утвердительное предложение показывает нам, что комбинация принадлежит классу сущего; всякое отрицательное предложение показывает, что известная комбинация относится к классу не сущего.

Signalons maintenant une différence de la plus haute importance. Pour M. Russell un objet quelconque qu'il désigna par x c'est un objet absolument indéterminé ; pour Hilbert c'est l'une des combinaisons formées avec 1 et = ; il ne saurait concevoir qu'on introduise autre chose que des combinaisons des objets déjà définis. Hilbert formule d'ailleurs sa pensée de la façon la plus nette ; et je crois devoir reproduire in extenso son énoncé. " Les indéterminées qui figurent dans les axiomes (en place du quelconque ou du tous de la logique ordinaire) représentent exclusivement l'ensemble des objets et des combinaisons qui nous sont déjà acquis en l'état actuel de la théorie, ou que nous sommes en train d'introduire. Lors donc qu'on déduira des propositions des axiomes considérés, ce sont ces objets et ces combinaisons seules que l'on sera en droit de substituer aux indéterminées. Il ne faudra pas non plus oublier que, lorsque nous augmentons le nombre des objets fondamentaux, les axiomes acquièrent du même coup une extension nouvelle et doivent, par suite, être de nouveau mis à l'épreuve et au besoin modifiés. "

Отметим теперь некоторое различие, имеющее важное значение. Для Рассела какой- нибудь предмет, который он обозначает через x, есть предмет абсолютно неопределенный, относительно которого он не делает никаких предположений; для Гильберта этот предмет есть одна из комбинаций, составленных из символов 1 и = не нужно представлять, будто здесь вводится что-либо новое помимо комбинации уже определенных предметов. Гильберт, впрочем, формулирует свою мысль самым точным образом, и я считаю необходимым воспроизвести его слова полностью: "Неопределен- ные, которые фигурируют в аксиомах (вместо понятий "нечто" и "все" обыкновенной логики), представляют собой исключительно совокупность предметов и комбинаций, которыми мы уже владеем при данном состоянии теории или которые мы начинаем вводить. Как только мы из рассматриваемых аксиом начнем выводить предложения, мы получим право заменять упомянутые предметы только этими предметами и этими комбинациями. Но если мы увеличиваем число основных предметов, то не нужно забывать, что тем самым аксиомы также испытывают новое расширение, и они, следовательно, должны быть снова проверены и, в случае нужды, изменены".

Le contraste est complet avec la manière de voir de M. Russell. Pour ce dernier philosophe, nous pouvons substituer à la place de x non seulement des objets déjà connus, mais n'importe quoi. Russell est fidèle à son point de vue, qui est celui de la compréhension. Il part de l'idée générale d'être et l'enrichit de plus en plus tout en la restreignant, en y ajoutant des qualités nouvelles. Hilbert ne reconnaît au contraire comme êtres possibles que des combinaisons d'objets déjà connus ; de sorte que (en ne regardant qu'un des côtés de sa pensée) on pourrait dire qu'il se place au point de vue de l'extension.

Здесь мы имеем полный контраст с точкой зрения Рассела. В той постановке, в какой вопрос ставится у этого философа, мы можем на место х ставить не только известные нам, но и какие угодно предметы. Рассел остается верным своей точке зрения, именно точке зрения понятия. Он исходит из общей идеи существующего и обогащает ее, придавая ей новые качества. Напротив, Гильберт считает существенными одни только комбинации известных уже предметов, так что (имея в виду лишь одну сторону его идеи) можно сказать, что Гильберт стоит на точке зрения объема понятий.

Poursuivons l'exposé des idées de Hilbert. Il introduit deux axiomes qu'il énonce dans son langage symbolique mais qui signifient, dans le langage des profanes comme nous, que toute quantité cet égale à elle-même et que toute opération faite sur deux quantités identiques donnent des résultats identiques. Avec cet énoncé ils sont évidents, mais les présenter ainsi serait trahir la pensée de M. Hilbert. Pour lui les mathématiques n'ont à combiner que de purs symboles et un vrai mathématicien doit raisonner sur eux sans se préoccuper de leur sens. Aussi ses axiomes ne sont pas pour lui ce qu'ils sont pour le vulgaire.

Проследим за изложением идей Гильберта. Он вводит две аксиомы, которые формулирует на своем символическом языке, но которые на языке таких профанов, как мы, обозначают, что всякое количество равно самому себе и что всякая операция, произведенная над двумя тождественными количествами, дает тождественные результаты. В такой формулировке аксиомы очевидны, но выразить их в таком виде значило бы исказить мысль Гильберта. С точки зрения Гильберта, математика комбинирует только чистые символы, и настоящий математик должен рассуждать о них, не заботясь об их смысле. Его аксиомы не являются для него тем же, чем они являются для обыкновенного человека.

Il les considère comme représentant la définition par postulats du symbole = jusqu'ici vierge de toute signification. Mais pour justifier cette définition, il faut montrer que ces deux axiomes ne conduisent à aucune contradiction.

Он рассматривает эти аксиомы как выраженное при помощи постулатов определение символа =, не опороченного еще каким-либо значением. Но чтобы оправдать это определение, необходимо доказать, что эти две аксиомы не ведут ни к какому противоречию.

Pour cela M. Hilbert se sert du raisonnement du n° III, sans paraître s'apercevoir qu'il fait de l'induction complète.

Для этого Гильберт пользуется рассуждением, изложенным у него в разделе III, не замечая, по-видимому, что он прибегает к полной индукции.

La fin du mémoire de M. Hilbert est tout à fait énigmatique et nous n'y insisterons pas. Les contradictions s'y accumulent ; on sent que l'auteur a vaguement conscience de la pétition de principe qu'il a commise, et qu'il cherche vainement à replâtrer les fissures de son raisonnement.

Конец мемуара Гильберта совершенно загадочен, и мы на нем не будем подробно останавливаться. Противоречия здесь умножаются; чувствуется, что автор сознает смутно petitio principii, в которое он впал, и что он напрасно старается замазать трещины своего рассуждения.

Qu'est-ce à dire ? Au moment de démontrer que la définition du nombre entier par l'axiome d'induction complète n'implique pas contradiction, M. Hilbert se dérobe comme se sont dérobés MM. Russell et Couturat, parce que la difficulté est trop grande.

Что же это значит? В тот момент, когда необходимо доказать, что определение целого числа при помощи аксиомы полной индукции не влечет противоречия, Гильберт от этого отделывается, как отделываются Рассел и Кутюра, ибо трудность слишком велика.

La géométrie, dit M. Couturat, est un vaste corps de doctrine où le principe d'induction complète n'intervient pas. Cela est vrai dans une certaine mesure, on ne peut pas dire qu'il n'intervient pas, mais il intervient peu. Si l'on se reporte à la Rational Geometry de M. Halsted (New-York, John Wiley and Sons, 1904) établie d'après les principes de M. Hilbert, on voit intervenir le principe d'induction pour la première fois à la page 114 (à moins que j'aie mal cherché, ce qui est bien possible).

Геометрия, говорит Кутюра, есть обширная область доктрин, в которой не фигурирует принцип полной индукции. В известной мере это верно; нельзя сказать, чтобы он совсем не входил, но он входит мало. Если обратиться к "Rational Geometry", написанной Халстедом (N. Y., John Wiley and Sons, 1904) и построенной на принципах Гильберта, то можно заметить, что принцип полной индукции появляется в первый раз на с. 114, если только я не пропустил его раньше, что очень возможно.

Ainsi la géométrie, qui, il y a quelques années à peine, semblait le domaine où le règne de l'intuition était incontesté, est aujourd'hui celui où les logisticiens semblent triompher. Rien ne saurait mieux faire mesurer l'importance des travaux géométriques de M. Hilbert et la profonde empreinte qu'ils ont laissée sur nos conceptions.

Таким образом, геометрия, которая, еще несколько лет тому назад казалась областью, в которой господство интуиции бесспорно, является теперь областью, в которой торжествует логистика. Этим лучше всего измеряется важность геометрических трудов Гильберта и тот глубокий отпечаток, который они оставили на наших понятиях.

Mais il ne faut pas s'y tromper. Quel est en somme le théorème fondamental de la Géométrie ? C'est que les axiomes de la Géométrie n'impliquent pas contradiction et, cela, on ne peut pas le démontrer sans le principe d'induction.

Но не нужно поддаваться обману. Какова в конце концов основная теорема геометрии? Она заключается в том, что аксиомы геометрии не заключают в себе противоречия, а это не может быть доказано без принципа индукции.

Comment Hilbert démontre-t-il ce point essentiel? C'est en s'appuyant sur l'Analyse et par elle sur l'Arithmétique, et par elle sur le principe d'induction.

Как же Гильберт доказывает этот существенный пункт? Опираясь на анализ, через анализ на арифметику и через арифметику на принцип индукции.

Et si jamais on invente une autre démonstration, il faudra encore s'appuyer sur ce principe, puisque les conséquences possibles des axiomes, dont il faut montrer qu'elles ne sont pas contradictoires, sont en nombre infini.

И если когда-нибудь изобретут другое доказательство, то придется все же опереться на этот принцип, потому что выводов из тех аксиом, логическую совместимость которых нужно доказать, может быть бесконечное множество.

Notre conclusion, c'est d'abord que le principe d'induction ne peut pas être regardé comme la définition déguisée du nombre entier.

Наш вывод заключается прежде всего в том, что на принцип индукции нельзя смотреть как на скрытое определение целого числа.

Voici trois vérités :

Вот три истины;

Le principe d'induction complète ;

принцип полной индукции;

Le postulatum d'Euclide ;

постулат Евклида;

La loi physique d'après laquelle le phosphore fond à 44° (citée par M. Le Roy).

физический закон, согласно которому фосфор плавится при 44 (приводится у Леруа).

On dit : Ce sont trois définitions déguisées, la première, celle du nombre entier, la seconde, celle de la ligne droite, la troisième, celle du phosphore.

Говорят, что эти истины являются скрытыми определениями: первое есть определение целого числа, второе — прямой линии, третье — фосфора.

Je l'admets pour la seconde, je ne l'admets pas pour les deux autres, il faut que j'explique la raison de cette apparente inconséquence.

Я принимаю это для второй истины, но не принимаю для двух других. Объясню причину такой кажущейся непоследовательности.

D'abord nous avons vu qu'une définition n'est acceptable que s'il est établi qu'elle n'implique pas contradiction. Nous avons montré également que, pour la première définition, cette démonstration est impossible ; au contraire, nous venons de rappeler que pour la seconde Hilbert avait donné une démonstration complète.

Мы видели прежде всего, что определение приемлемо лишь в случае, если установлено, что оно не заключает в себе противоречия. Мы доказали также, что такое доказательство невозможно для первого определения; для второго, наоборот, Гильберт дал полное доказательство.

En ce qui concerne la troisième, il est clair qu'elle n'implique pas contradiction : mais cela veut-il dire que cette définition garantit, comme il le faudrait, l'existence de l'objet défini ? Nous ne sommes plus ici dans les sciences mathématiques, mais dans les sciences physiques, et le mot existence n'a plus le même sens, il ne signifie plus absence de contradiction, il signifie existence objective.

Что же касается третьего определения, то оно, очевидно, не заключает противоречия; но значит ли это, что определение, как это требовалось бы, с несомненностью свидетельствует о существовании определенного предмета? Мы выходим здесь из области математических наук и вступаем в область физических наук. Слово "существование" не имеет уже того смысла, что раньше, оно не обозначает отсутствия противоречия, а обозначает объективное существование.

Et voilà déjà une première raison de la distinction que je fais entre les trois cas ; il y en a une seconde. Dans les applications que nous avons à faire de ces trois notions, se présentent-elles à nous comme définies par ces trois postulats ?

Вот уже первое основание для различия, которое я делаю между вышеприведенными тремя случаями. Есть еще другое основание. Эти три понятия находят последующие применения; имеют ли эти понятия в применениях то значение, которое установлено этими тремя постулатами?

Les applications possibles du principe d'induction sont innombrables ; prenons pour exemple l'une de celles que nous avons exposées plus haut, et où on cherche à établir qu'un ensemble d'axiomes ne peut conduire à une contradiction. Pour cela on considère l'une des séries de syllogismes que l'on peut poursuivre en partant de ces axiomes comme prémisses.

Возможные применения принципа индукции бесчисленны. Возьмем для примера одно из указанных нами выше применений, где мы стремились установить, что некоторая совокупность аксиом не может вести к противоречию. Для этого следует рассмотреть один из рядов силлогизмов, которые можно построить, исходя из этих аксиом как посылок.

Quand on a fini le n^e syllogisme, on voit qu'on peut en faire encore un autre et c'est le n + 1^e ; ainsi le nombre n sert à compter une série d'opérations successives, c'est un nombre qui peut être obtenu par additions successives. C'est donc un nombre depuis lequel on peut remonter à l'unité par soustraction successives. On ne le pourrait évidemment pas si on avait n = n – 1, parce qu'alors par soustraction on retrouverait toujours le même nombre. Ainsi donc la façon dont nous avons été amenés à considérer ce nombre n implique une définition du nombre entier fini et cette définition est la suivant : un nombre entier fini est celui qui peut être obtenu par additions successives, c'est celui qui est tel que n n'est pas égal à n – 1.

Когда мы закончили n-й силлогизм, мы видим, что можно еще составить (n + 1)-й силлогизм. Таким образом, число n служит для счета ряда последовательных операций, это — число, которое может быть получено путем последовательных прибавлений. Другими словами, это есть число, исходя из которого, можно прийти к единице путем последовательных вычитаний. Этого, очевидно, нельзя было бы достигнуть, если бы мы имели равенство n = n - 1, потому что в таком случае мы при вычитании всегда получали бы то же самое число. Таким образом, способ, при помощи которого мы пришли к рассмотрению этого числа n, заключает в себе определение конечного целого числа, и это определение гласит: конечное целое число есть такое число, которое может быть получено путем последовательных сложений, это есть число n которое не равняется n - 1.

Cela posé, qu'est-ce que nous faisons ? Nous montrons que s'il n'y a pas eu de contradiction au n^e syllogisme, il n'y en aura pas davantage au n + 1^e et nous concluons qu'il n'y en aura jamais. Vous dites : j'ai le droit de conclure ainsi, parce que les nombres entiers sont par définition ceux pour lesquels un pareil raisonnement est légitime ; mais cela implique une autre définition du nombre entier et qui est la suivante : un nombre entier est celui sur lequel on peut raisonner par récurrence ; dans l'espèce c'est celui dont on peut dire que, si l'absence de contradiction au moment d'un syllogisme dont le numéro est un nombre entier entraîne l'absence de contradiction au moment d'un syllogisme dont le numéro est l'entier suivant, on n'aura à craindre aucune contradiction pour aucun des syllogismes dont le numéro est entier.

Приняв это, что делаем мы дальше? Мы показываем, что если нет противоречия с n-м силлогизмом, то не будет противоречия с (n + 1) -м и не будет такого противоречия никогда. Вы скажете: я вправе сделать такое заключение, потому что целые числа по определению представляют собой такие именно числа, для которых подобное рассуждение законно. Но это приводит к другому опре делению целого числа, а именно к следующему: целое число есть такое число, о котором можно рассуждать в рекуррентном порядке В данном случае это — число, о котором можно сказать следующее: если отсутствие противоречия в момент силлогизма, имеющего целый номер, влечет за собой отсутствие противоречия для силлогизма, имеющего следующий целый номер, то нет оснований опасаться противоречия для любого из силлогизмов, имеющего целый номер.

Les deux définitions ne sont pas identiques ; elles sont équivalentes sans doute, mais elles le sont en vertu d'un jugement synthétique a priori ; on ne peut pas passer de l'une à l'autre par des procédés purement logiques.

Оба определения не тождественны; они эквивалентны, без сомнения, но они таковы в силу априорного синтетического суждения: нельзя прийти от одного к другому путем чисто логических операций.

Par conséquent nous n'avons pas le droit d'adopter la seconde, après avoir introduit le nombre entier par un chemin qui suppose la première.

Мы не вправе, следовательно, принять второе определение, раз мы ввели целое число, следуя такому пути, который предполагает первое определение.

Nous n'avons pas, comme dans le cas précédent, deux définitions équivalentes irréductibles logiquement l'une à l'autre.

Посмотрим, напротив, как обстоит дело с прямой линией. Я так часто уже говорил об этом, что не решаюсь снова повторять то же самое.

Nous n'en avons qu'une, exprimable par des mots. Dira-ton qu'il y en a une autre que nous sentons sans pouvoir l'énoncer parce que nous avons l'intuition de la ligne droite ou parce que nous nous représentons la ligne droite. Tout d'abord, nous ne pouvons pas nous la représenter dans l'espace géométrique, mais seulement dans l'espace représentatif, et puis nous pouvons nous représenter tout aussi bien les objets qui possèdent les autres propriétés de la ligne droite, sauf celle de satisfaire au postulatum d'Euclide. Ces objets sont les " droites non-euclidiennes " qui à un certain point de vue ne sont pas des entités vides de sens, mais des cercles (de vrais cercles du vrai espace) orthogonaux à une certaine sphère. Si parmi ces objets également susceptibles de représentation, ce sont les premiers (les droites euclidiennes) que nous appelons droites, et non pas les derniers (les droites non-euclidiennes), c'est bien par définition.

Мы не имеем здесь, как это было в предыдущем случае, двух эквивалентных определений, логически друг к другу несводимых. Мы имеем только одно определение, выраженное словами. Могут сказать, что мы имеем еще другое определение, которое мы чувствуем, но не можем выразить, потому что мы имеем интуицию прямой линии, или потому, что мы представляем себе прямую линию. Но, прежде всего, мы не можем представить себе этой линии в геометрическом пространстве, а можем представить лишь в пространстве, имеющемся в нашем представлении; и затем мы легко можем представить себе объекты, которые обладают всеми другими свойствами прямой линии, кроме того свойства, которое удовлетворяет постулату Евклида. Эти объекты суть "неевклидовы прямые", которые с известной точки зрения отнюдь не являются чем-то, лишенным смысла, но представляют собой окружности (настоящие окружности в настоящем пространстве), ортогональные к определенной сфере. Если из этих объектов, которые мы также можем себе представить, мы считаем прямыми первые, т. е. евклидовы прямые, а не последние, т. е. неевклидовы прямые, то это обусловливается определением.

Et si nous arrivons enfin au troisième exemple, à la définition du phosphore, nous voyons que la vraie définition serait : Le phosphore, c'est ce morceau de matière que je vois là dans tel flacon.

Если мы, наконец, обратимся к третьему примеру, к определению фосфора, то мы увидим, что истинное определение будет таково: фосфор — это кусок вещества, который я вижу вот в этом флаконе.

Et puisque je suis sur ce sujet, encore un mot. Pour l'exemple du phosphore j'ai dit : " Cette proposition est une véritable loi physique vérifiable, car elle signifie : tous les corps qui possèdent toutes les autres propriétés du phosphore, sauf son point de fusion, fondent comme lui à 44° ". Et on m'a répondu : " Non, cette loi n'est pas vérifiable, car si l'on venait à vérifier que deux corps ressemblant au phosphore fondent l'un à 44° et l'autre à 50°, on pourrait toujours dire qu'il y a sans doute, outre le point de fusion, quelque autre propriété inconnue par laquelle ils diffèrent ".

Остановившись уже на этом примере, скажу еще несколько слов. Относительно истины, касающейся фосфора, я выше сказал: "это предложение есть настоящий физический закон, доступный проверке, так как оно обозначает: все тела, которые обладают всеми прочими свойствами фосфора, помимо точки его плавления, плавятся, как и фосфор, при 44 ". На это мне ответили: "нет, этот закон не может быть проверен, потому что, если бы после проверки оказалось, что два тела, похожие на фосфор, плавятся одно при 44 , а другое при 50 , то всегда можно было бы сказать, что, кроме точки плавления, наверное, имеется еще и другое неизвестное свойство, благодаря которому эти тела друг от друга отличаются".

Ce n'était pas tout à fait cela-que j'avais voulu dire ; j'aurais dû écrire : Tous les corps qui possèdent telles et telles propriétés en nombre fini (à savoir les propriétés du phosphore qui sont énoncées dans les traités de Chimie, le point de fusion excepté) fondent à 44°.

Это было не совсем то, что я хотел сказать. Я должен был бы написать: все тела, которые обладают такими-то и такими-то свойствами в конечном числе (а именно теми свойствами фосфора, которые перечислены в руководствах по химии, за исключением точки плавления), плавятся при 44 .

Et pour mettre mieux en évidence la différence entre le cas de la droite et celui du phosphore, faisons encore une remarque. La droite possède dans la nature plusieurs images plus ou moins imparfaites, dont les principales sont le rayon lumineux et l'axe de rotation d'un corps solide. Je suppose que l'on constate que le rayon lumineux ne satisfait pas au postulatum d'Euclide (par exemple en montrant qu'une étoile a une parallaxe négative), que ferons-nous ? Conclurons-nous que la droite étant par définition la trajectoire de la lumière ne satisfait pas au postulatum, ou bien au contraire que la droite satisfaisant par définition au postulatum, le rayon lumineux n'est pas rectiligne ?

Чтобы сделать более очевидной разницу между примером с прямой линией и примером с фосфором, сделаем еще одно замечание. Прямая линия имеет в природе несколько более или менее несовершенных образов, между которыми главные суть световой луч и ось вращении твердого тела. Я допускаю, что каким-нибудь образом было бы установлено, что световой луч не удовле творяет постулату Евклида (т. е. было бы, например, доказано, что звезда имеет отрицательный параллакс), что сделаем мы дальше? Заключим ли мы отсюда, что прямая, будучи по определению траекторией света, не удовлетворяет постулату или, наоборот, что раз прямая по определению удовлетворяет постулату, то световой луч не представляет собой прямой линии?

Assurément nous sommes libres d'adopter l'une ou l'autre définition et par conséquent l'une ou l'antre conclusion ; mais adopter la première ce serait stupide, parce que le rayon lumineux ne satisfait probablement que d'une façon imparfaite non seulement au postulatum d'Euclide, mais aux autres propriétés de la ligne droite ; que s'il s'écarte de la droite euclidienne, il ne s'écarte pas moins de l'axe de rotation des corps solides qui est une autre image imparfaite de la ligne droite ; qu'enfin il est sans doute sujet au changement, de sorte que telle ligne qui était droite hier, cessera de l'être demain si quelque circonstance physique a changé.

Конечно, мы свободны в выборе того или другого определения и, следовательно, того или иного заключения. Но принять первое заключение было бы нелепо, потому что световой луч удовлетворяет лишь несовершенным образом, вероятно, не только постулату Евклида, но и другим свойствам прямой линии; если он отклоняется от евклидовой прямой, то он также отклоняется и от оси вращения твердых тел, которая является другим несовершенным образом прямой линии; и, наконец, он, без сомнения, подвержен изменениям: будучи прямым вчера, он перестает быть таковым завтра, если какое-нибудь физическое условие изменилось.

Supposons, maintenant que l'on vienne à découvrir que le phosphore ne fond pas à 44°, mais à 43°,9. Conclurons-nous que le phosphore étant par définition ce qui fond à 44°, ce corps que nous appelions phosphore n'est pas du vrai phosphore, ou au contraire que le phosphore fond à 43°,9 ?

Предположим, что было бы найдено, что фосфор плавится не при 44 , а при 43,9 . Заключим ли мы отсюда, что это новое тело, которое мы назвали фосфором, не есть настоящий фосфор, ибо последний, согласно определению, есть тело, которое плавится при 44 или, напротив, мы заключим, что фосфор плавится при 43,9 ?

Ici encore nous sommes libres d'adopter l'une ou l'autre définition et par conséquent l'une ou l'autre conclusion ; mais adopter la première, ce serait stupide parce qu'on ne peut pas changer le nom d'un corps toutes les fois qu'on détermine une nouvelle décimale de son point de fusion.

В этом случае мы также свободны в выборе того или другого определения, а следовательно, того или другого заключения. Но было бы нелепо принять первое заключение, так как нельзя же менять наименование тела каждый раз, когда удается определить лишний десятичный знак в его температуре плавления.

En résumé, MM. Russell et Hilbert ont fait l'un et l'autre un vigoureux effort ; ils ont écrit l'un et l'autre un livre plein de vues originales, profondes et souvent très justes. Ces deux livres nous donneront beaucoup à réfléchir et nous avons beaucoup à y apprendre. Parmi leurs résultats, quelques-uns, beaucoup même, sont solides et destinés à demeurer.

В итоге Рассел и Гильберт сделали большие усилия. Тот и другой написали книги, изобилующие оригинальными, глубокими и часто очень правильными взглядами. Эти две книги дают нам большой материал для размышления; из них мы можем многому научиться. Некоторые и даже многие из выводов, к которым приходят авторы, прочны и будут жить.

Mais dire qu'ils ont définitivement tranché le débat entre Kant et Leibnitz et ruiné la théorie kantienne des mathématiques, c'est évidemment inexact. Je ne sais si réellement ils ont cru l'avoir fait, mais s'ils l'ont cru, ils se sont trompés.

Но, очевидно, было бы неправильно сказать, что они окончательно разрешили спор между Кантом и Лейбницем и разрушили кантову теорию математики. Я не знаю, стоят ли они сами на этой точке зрения, но если они это думают, то они ошибаются.