Les logisticiens ont cherché à répondre aux considérations qui précèdent. Pour cela il leur a fallu transformer la logistique, et M. Russell en particulier a modifié sur certains points ses vues primitives. Sans entrer dans les détails du débat, je voudrais revenir sur les deux questions les plus importantes à mon sens ; les règles de la logistique ont-elles fait leurs preuves de fécondité et d'infaillibilité ? Est-il vrai qu'elles permettent de démontrer le principe d'induction complète sans aucun appel à l'intuition.

Логистики пытались ответить на все приведенные выше соображения. Для такого ответа им надобно было преобразовать логистику (1), и Рассел в особенности видоизменил в некоторых отношениях первоначальные ее точки зрения. Не входя в детали дела, я хочу остановиться только на двух вопросах, на мой взгляд, наиболее важных. Дали ли правила логистики действительно доказательства своей плодотворности и непогрешимости? Верно ли, что они имеют возможность доказать принцип полной индукции, совершенно не обращаясь к интуиции?

En ce qui concerne la fécondité, il semble que M. Couturat se fasse de naïves illusions. La Logistique, d'après lui, prête à l'invention " des échasses et des ailes " et à la page suivante : " Il y a dix ans que M. Peano a publié la première édition de son Formulaire. "

Что касается плодотворности, то Кутюра, по-видимому, строит наивные иллюзии. Логистика, по его мнению, дает изобретательности в ее распоряжение "леса и крылья". А на следующей, странице он говорит: "десять лет тому назад Пеано опубликовал первое издание своего "Formulaire" (2).

Comment, voilà dix ans que vous avez des ailes, et vous n'avez pas encore volé !

Как, уже десять лет, как вы имеете крылья, и вы еще не полетели!

J'ai la plus grande estime pour M. Peano, qui a fait de très jolies choses (par exemple sa courbe qui remplit toute une aire) ; mais enfin il n'est allé ni plus loin, ni plus haut, ni plus vite que la plupart des mathématiciens aptères, et il aurait pu faire tout aussi bien avec ses jambes.

Я питаю величайшее уважение к Пеано, который сделал превосходные работы (например, его кривая, которая заполняет целую площадь), но в конце концов он не ушел ни дальше, ни выше, ни быстрее, чем большая часть бескрылых математиков, и этот путь он мог бы ведь проделать так же хорошо на своих ногах.

Je ne vois au contraire dans la logistique que des entraves pour l'inventeur ; elle ne nous fait pas gagner en concision, loin de là, et s'il faut 27 équations pour établir que 1 est un nombre, combien en faudra-t-il pour démontrer un vrai théorème. Si nous distinguons, avec M. Whitehead, l'individu x, la classe dont le seul membre est x et qui s'appellera ix, puis la classe dont le seul membre est la classe dont le seul membre est x et qui s'appellera iix, croit-on que ces distinctions, si utiles qu'elles soient, vont beaucoup alléger notre allure ?

Я, напротив, вижу в логистике только помеху для изобретателя; с ее помощью мы отнюдь не выигрываем в сжатости; если нужны 27 уравнений, для того чтобы установить, что 1 есть число, то сколько нужно будет уравнений, чтобы доказать настоящую теорему? Если мы различаем вместе с Уайтхедом индивид х, класс, единственный член коего есть х и который называется ix, затем — класс, единственный член которого есть класс с единственным членом x и который называется iix, то можно ли думать, что эти различия, как бы ни были они полезны, облегчат нам движение вперед?

La Logistique nous force à dire tout ce qu'on sous-entend d'ordinaire ; elle nous force à avancer pas à pas ; c'est peut-être plus sûr, mais ce n'est pas plus rapide.

Логистика заставляет нас сказать все то, что обыкновенно подразумевается; она заставляет нас двигаться шаг за шагом; это, быть может, делает движение более верным, но не более быстрым.

Ce ne sont pas des ailes que vous nous donnez, ce sont des lisières. Et alors nous avons le droit d'exiger que ces lisières nous empêchent de tomber. Ce sera leur seule excuse. Quand une valeur ne rapporte pas de gros intérêts, il faut au moins que ce soit un placement de père de famille.

Вы даете нам не крылья, а детские помочи. Но тогда мы имеем право требовать, чтобы эти помочи не давали нам падать В такой помощи — единственное их оправдание. Если ценное имущество не приносит крупных доходов, то нужно по крайней мере, чтобы оно было в надежных руках.

Doit-on suivre vos règles aveuglément ? Oui, sans quoi ce serait l'intuition seule qui nous permettrait de discerner entre elles ; mais alors il faut qu'elles soient infaillibles ; ce n'est que dans une autorité infaillible qu'on peut avoir une confiance aveugle. C'est donc une nécessité pour vous. Vous serez infaillibles ou vous ne serez pas.

Нужно ли следовать вашим правилам слепо? Конечно, да, иначе нам могла бы помочь разобраться в них одна только интуиция. Но в таком случае необходимо, чтобы эти правила были непогрешимы; слепое доверие можно питать только к непогрешимому авторитету. Для вас это необходимость. Вы должны быть непогрешимы, или вас не будет.

Vous n'avez pas le droit de nous dire : " Nous nous trompons, c'est vrai, mais vous vous trompez aussi ". Nous tromper, pour nous, c'est un malheur, un très grand malheur, pour vous c'est la mort.

Вы не вправе сказать нам: "мы ошибаемся — это правда, но вы также ошибаетесь". Но наша ошибка для нас — несчастье, большое несчастье, для вас — это смерть.

Ne dites pas non plus : est-ce que l'infaillibilité de l'arithmétique empêche les erreurs d'addition ; les règles du calcul sont infaillibles, et pourtant on voit se tromper ceux qui n'appliquent pas ces règles ; mais en revisant leur calcul, on verra tout de suite à quel moment ils s'en sont écartés. Ici ce n'est pas cela du tout ; les logisticiens ont appliqué leurs règles, et ils sont tombés dans la contradiction ; et cela est si vrai qu'ils s'apprêtent à changer ces règles et à " sacrifier la notion de classe ". Pourquoi les changer si elles étaient infaillibles ?

Еще менее вправе вы сказать: "Разве непогрешимость арифметики препятствует ошибкам сложения? Правила счета непогрешимы, и все же мы видим, как ошибаются те, которые их применяют". Однако, просматривая их переделки, легко заметить, в какой момент они уклонились от правил. Здесь же совсем не то; логистики применили свои правила и впали в противоречие. Это настолько верно, что они готовы изменить правила и "пожертвовать понятием класса". Зачем же изменять правила, если они были непогрешимы?

" Nous ne sommes pas obligés, dites-vous, de résoudre hic et nunc tous les problèmes possibles. " Oh, nous ne vous en demandons pas tant ; si en face d'un problème, vous ne donniez aucune solution, nous n'aurions rien à dire ; mais au contraire vous nous en donnez deux et qui sont contradictoires et dont par conséquent une au moins est fausse, et c'est cela qui est une faillite.

"Мы не обязаны, — говорите вы, — разрешать hic et nunc (3) все возможные проблемы". О, мы от вас не требуем столь многого; если бы вы, разрешая проблему, не давали никакого решения, мы ничего не сказали бы; но вы, напротив, даете нам два решения, которые друг другу противоречат и из которых, следовательно, по крайней мере одно ложно. А это банкротство.

M. Russell cherche à concilier ces contradictions, ce qu'on ne peut faire, d'après lui " qu'en restreignant ou même en sacrifiant la notion de classe. " Et M. Couturat, escomptant le succès de cette tentative, ajoute : " Si les logisticiens réussissent là où les autres ont échoué, M. Poincaré voudra bien se rappeler cette phrase, et faire honneur de la solution à la Logistique. "

Рассел старается примирить эти противоречия и признает, что для такого примирения необходимо "ограничить понятие класса или даже пожертвовать им". Кутюра же, учитывая успех этой попытки, прибавляет: "если логистики достигнут того, что не удавалось другим, Пуанкаре не откажется вспомнить эту фразу и воздать должное решению логистики".

Mais non : La Logistique existe, elle a son code qui a déjà eu quatre éditions ; ou plutôt c'est ce code qui est la Logistique elle-même. M. Russell s'apprête-t-il à montrer que l'un au moins des deux raisonnements contradictoires a transgressé ce code ? Pas le moins du monde, il s'apprête à changer ces lois, et à en abroger un certain nombre. S'il réussit, j'en ferai honneur à l'intuition de M. Russell et non à la Logistique péanienne qu'il aura détruite.

Но это не так: логистика существует, она имеет свое уложение, вышедшее уже в четырех изданиях; или, правильнее, это уложение и есть сама логистика. Готов ли Рассел показать, что по крайней мере одно из двух противоречивых суждений вышло за пределы уложения? Отнюдь нет; он готов изменить эти законы, а некоторые из них и уничтожить. Если он успешно выполнит свою попытку, то я воздам должное интуиции Рассела, но не логистике Пеано, которую он таким образом разрушит.

J'avais opposé dans l'article cité deux objections principales à la définition du nombre entier adoptée par les logisticiens. Que répond M. Couturat à la première de ces objections ?

Я привел выше два главных возражения против того определения целого числа, которое принято в логистике. Какой ответ дает Кутюра на первое возражение?

Que signifie en mathématiques le mot exister ; il signifie, avais-je dit, être exempt de contradiction. C'est ce que M. Couturat conteste ; " L'existence logique, dit-il, est tout autre chose que l'absence de contradiction. Elle consiste dans le fait qu'une classe n'est pas vide ; dire : Il existe des a, c'est, par définition, affirmer que la classe a n'est pas nulle ". Et sans doute, affirmer que la classe a n'est pas nulle, c'est par définition, affirmer qu'il existe des a. Mais l'une des deux affirmations est aussi dénuée de sens que l'autre, si elles ne signifient pas toutes deux, ou bien qu'on peut voir ou toucher des a, ce qui est le sens que leur donnent les physiciens ou les naturalistes, ou bien qu'on peut concevoir un a sans être entraîné à des contradictions, ce qui est le sens que leur donnent les logiciens et les mathématiciens.

Что обозначает в математике слово существовать? Оно обозначает, сказал я, отсутствие противоречия. Кутюра возражает против этого. Он говорит: "Логическое существование есть нечто отличное от отсутствия противоречия. Оно заключается в том факте, что некоторый класс не пуст; сказать: "элементы а существуют" — значит, согласно определению, утверждать, что класс не есть нулевой". И, само собой разумеется, утверждать, что класс а не есть нулевой, значит, согласно определению, утверждать, что элементы а существуют. Но одно из этих утверждений так же лишено смысла, как и другое, если только они оба не обозначают либо то, что можно это а видеть или осязать, либо то, что можно постигнуть а, не впадая в противоречие. Но в первом случае мы имеем дело с утверждением, которое принимают физики и натуралисты; во втором случае — с утверждением, которое выставляют логики и математики.

Pour M. Couturat ce n'est pas la non-contradiction qui prouve l'existence, c'est l'existence qui prouve la non-contradiction. Pour établir l'existence d'une classe, il faut donc établir, par un exemple, qu'il y a un individu appartenant à cette classe : " Mais, dira-t-on, comment démontre-t-on l'existence de cet individu ? Ne faut-il pas que cette existence soit établie, pour qu'on puisse en déduire l'existence de la classe dont il fait partie ? - Eh bien, non ; si paradoxale que paraisse cette assertion, on ne démontre jamais l'existence d'un individu. Les individus, par cela seul qu'ils sont des individus, sont toujours considérés comme existants. On n'a jamais à exprimer qu'un individu existe, absolument parlant, mais seulement qu'il existe dans une classe. " M. Couturat trouve sa propre assertion paradoxale, il ne sera certainement pas le seul. Elle doit, pourtant avoir un sens ; il veut dire sans doute que l'existence d'un individu, seul au monde, et dont on n'affirme rien, ne peut entraîner de contradiction ; tant qu'il sera tout seul, il est évident qu'il ne pourra gêner personne. Eh bien, soit, nous admettrons l'existence de l'individu, " absolument parlant " ; mais de celle-là nous n'avons que faire ; il vous restera à démontrer l'existence de l'individu " dans une classe " et pour cela il vous faudra toujours prouver que l'affirmation : tel individu appartient à telle classe, n'est contradictoire ni en elle-même, ni avec les autres postulats adoptés.

Для Кутюра не отсутствие противоречия доказывает бытие, а бытие доказывает отсутствие противоречия. Чтобы установить существование класса, нужно установить при помощи примера, что есть какой-нибудь индивид, принадлежащий к этому классу. "Но, — скажут, — как доказать существование такого индивида? Не надобно ли, чтобы это существование было установлено для того, чтобы мы из него могли вывести существование класса, к которому принадлежит индивид? Совсем нет. Как ни покажется парадоксальным такое утверждение, нужно сказать, что никогда не доказывают существования индивида. Индивиды уже по одному тому, что они индивиды, всегда рассматриваются как существующие. Абсолютно говоря, нет нужды высказывать, что индивид существует, а нужно лишь сказать, что он существует в классе". Кутюра находит свое собственное утверждение парадоксальным, и, конечно, не он один найдет его таковым. Это утверждение, однако, должно иметь свой смысл. Кутюра, без сомнения, хочет сказать, что существование индивида, который является единственным в мире и о котором ничего не утверждается, не может повлечь противоречия; пока он остается единственным, он, очевидно, никого не стесняет. Пусть так; допустим, "абсолютно говоря", существование индивида; но с этим существованием нам нечего делать; нам нужно будет доказать существование индивида "в классе", а для этого надобно будет доказать, что утверждение "такой-то индивид принадлежит к такому-то классу" не стоит в противоречии ни с самим собой, ни с другими принятыми постулатами.

" C'est donc émettre une exigence arbitraire et abusive que de prétendre qu'une définition n'est valable que si l'on prouve d'abord qu'elle n'est pas contradictoire. " On ne saurait revendiquer en termes plus énergiques et plus fiers la liberté de la contradiction. " En tout cas, l'onus probandi incombe à ceux qui croient que ces principes sont contradictoires. " Des postulats sont présumés compatibles jusqu'à preuve du contraire, de même qu'un accusé est présumé innocent.

"Утверждать, что определение лишь тогда имеет действительное значение, когда раньше доказано, что оно непротиворечиво, это значит, — продолжает Кутюра, — предъявлять произвольное и неправильное требование". Капитуляция в вопросе об отсутствии противоречия выражена здесь в словах как нельзя более энергичных и самонадеянных. "Во всяком случае onus probandi (4) падает на тех, кто полагает, что эти принципы противоречивы". Постулаты предполагаются совместимыми друг с другом до тех пор, пока не доказано противоположное, подобно тому, как обвиняемый по презумпции предполагается невиновным.

Inutile d'ajouter que je ne souscris pas à cette revendication. Mais, dites-vous, la démonstration que vous exigez de nous est impossible, et vous ne pouvez nous sommer de " prendre la lune avec les dents ". Pardon, cela est impossible pour vous, mais pas pour nous, qui admettons le principe d'induction comme un jugement synthétique a priori. Et cela serait nécessaire pour vous, comme pour nous.

Излишне говорить, что я не подписываюсь под этой капитуляцией. Но, говорите вы, доказательство, которого вы от нас требуете, невозможно, вы не должны от нас требовать, чтобы мы "схватили Луну зубами" (5). Простите, оно невозможно для вас, но не для нас, допускающих принцип индукции в качестве априорного синтетического суждения. И оно так же необходимо вам, как и нам.

Pour démontrer qu'un système de postulats n'implique pas contradiction, il faut appliquer le principe d'induction complète ; non seulement ce mode de raisonnement n'a rien de " bizarre ", mais c'est le seul correct. Il n'est pas " invraisemblable " qu'on l'ait jamais employé ; et il n'est pas difficile d'en trouver des " exemples et des précédents ". J'en ai cité deux dans mon article et qui étaient empruntés à la brochure de M. Hilbert. Il n'est pas le seul à en avoir fait usage et ceux qui ne l'ont pas fait ont eu tort. Ce que j'ai reproché à M. Hilbert, ce n'est pas d'y avoir eu recours (un mathématicien de race comme lui ne pouvait pas ne pas voir qu'il fallait une démonstration et que celle-là était la seule possible), mais d'y avoir eu recours sans y reconnaître le raisonnement par récurrence.

Чтобы доказать, что система постулатов не заключает противоречия, необходимо применить принцип полной индукции; этот способ суждения не только не "странный", но единственно правильный. Отнюдь нельзя считать "неправдоподобными" случаи его применения; и нетрудно найти соответствующие "примеры и прецеденты". Я цитировал в моей статье два таких примера, заимствованных из брошюры Гильберта. Но он не один применял такой способ; те же, которые его избегали, были неправы. Я упрекал Гильберта не в том, что он к нему прибегал (как настоящий математик, Гильберт не мог не увидеть, что здесь необходимо было доказательство и что данное им доказательство было единственно возможное), но в том, что, прибегая к нему, он не признавал в нем суждения по рекуррентному методу.

J'avais signalé une seconde erreur des logisticiens dans l'article de M. Hilbert ; aujourd'hui M. Hilbert est excommunié et M. Couturat ne le regarde plus comme un logisticien ; il va donc me demander si j'ai trouvé la même faute chez les logisticiens orthodoxes. Non, je ne l'ai pas vue dans les pages que j'ai lues ; je ne sais si je la trouverais dans les 300 pages qu'ils ont écrites et que je n'ai pas envie de lire.

Я отметил вторую ошибку логистиков в статье Гильберта. Теперь Гильберт отлучен, и Кутюра более не считает его логистиком. Он меня спросит, нашел ли я ту же самую ошибку у логистиков-ортодоксов. Нет, я не встречал ее на тех страницах, которые прочитал; но я не знаю, не встречу ли я ее на трехстах страницах, которые написаны ортодоксами и которые у меня нет желания читать.

Seulement il faudra bien qu'ils la commettent le jour où ils voudront tirer de la science mathématique une application quelconque. Cette science n'a pas uniquement pour objet de contempler éternellement son propre nombril ; elle touche à la nature et un jour ou l'autre elle prendra contact avec elle ; ce jour-là, il faudra secouer les définitions purement verbales et ne plus se payer de mots.

Но логистикам придется впасть в эту ошибку, как только они захотят сделать из математической науки какое-нибудь приложение. Эта наука не имеет единственной целью вечное созерцание своего собственного пупа; она приближается к природе, и раньше или позже она придет с ней в соприкосновение; в этот момент не обходимо будет отбросить чисто словесные определения, которыми нельзя будет более довольствоваться.

Revenons à l'exemple de M. Hilbert ; il s'agit toujours du raisonnement par récurrence, et de la question de savoir si un système de postulats n'est pas contradictoire. M. Couturat me dira sans aucun doute qu'alors cela ne le touche pas, mais cela intéressera peut-être ceux qui ne revendiquent pas comme lui la liberté de la contradiction.

Вернемся к примеру Гильберта. Дело идет все о том же рекуррентном суждении и о том, заключает ли система постулатов противоречие. Кутюра скажет, без сомнения, что это его не касается; но это заинтересует, быть может, тех, кто не отказывается, как он, от доказательства отсутствия противоречия.

Nous voulons établir comme plus haut que nous ne rencontrerons pas de contradiction après un nombre quelconque de raisonnements, aussi grand que l'on veut, pourvu que ce nombre soit fini. Pour cela il faut appliquer le principe d'induction. Devons-nous entendre ici par nombre fini, tout nombre auquel par définition le principe d'induction s'applique ? Évidemment non, sans quoi nous serions conduits aux conséquences les plus étranges.

Мы хотим установить, как мы говорили выше, что не встретим противоречия после сколь угодно большого числа суждений, раз это число будет конечным. Для этого необходимо применить принцип индукции. Должны ли мы под конечным числом понимать здесь всякое число, к которому по определению применим принцип индукции? Очевидно, нет, так как в противном случае мы пришли бы к следствиям, которые нас чрезвычайно затруднили бы.

Pour que nous ayons le droit de poser un système de postulats, il faut que nous soyons assurés qu'ils ne sont pas contradictoires. C'est là une vérité qui est admise par la plupart des savants, j'aurais écrit par tous avant d'avoir lu le dernier article de M. Couturat. Mais que signifie-t-elle ? Veut-elle dire : il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction après un nombre fini de propositions, le nombre fini étant par définition celui qui jouit de toutes les propriétés de nature récurrente, de telle façon que si une de ces propriétés faisait défaut, si par exemple nous tombions sur une contradiction, nous conviendrions de dire que le nombre en question n'est pas fini ?

Для того чтобы мы имели право установить систему постулатов, мы должны быть уверены, что постулаты непротиворечивы. Это — истина, принятая большинством ученых, я бы сказал "всеми учеными" до того, как прочел последнюю статью Кутюра. Но что обозначает эта истина? Имеется ли в виду: необходимо, чтобы мы были уверены в том, что не встретим противоречия после конечного числа предложений, причем конечным по определению будет такое число, которое обладает всеми свойствами рекуррентного характера, так что, если одно из этих свойств отсутствует, если мы, например, натолкнемся на противоречие, то мы условимся говорить, что данное число не есть конечное?

En d'autres termes, voulons-nous dire : Il faut que nous soyons sûrs de ne pas rencontrer de contradiction à la condition de convenir de nous arrêter juste au moment où nous serions sur le point d'en rencontrer une ? Il suffit d'énoncer une pareille proposition pour la condamner.

Другими словами, хотим ли мы сказать: необходимо, чтобы мы были уверены в том, что мы не встретим противоречия при условии, что мы согласимся остановиться в тот момент, когда такое противоречие начнет обрисовываться? Достаточно сформулировать такое предложение, чтобы тут же его осудить.

Ainsi non seulement le raisonnement de M. Hilbert suppose le principe d'induction, mais il suppose que ce principe nous est donné, non comme une simple définition, mais comme un jugement synthétique a priori.

Таким образом, рассуждение Гильберта не только предполагает принцип индукции, но оно предполагает, что этот принцип нам дан не как простое определение, а как априорное синтетическое суждение.

En résumé :

Резюмируем:

Une démonstration est nécessaire.

доказательство необходимо;

La seule démonstration possible est la démonstration par récurrence.

единственно возможное доказательство есть рекуррентное доказательство;

Elle n'est légitime que si on admet le principe d'induction, et si ou le regarde non comme une définition, mais comme un jugement synthétique.

оно законно только тогда, когда допускают принцип индукции и когда его рассматривают не как определение, а как синтетическое суждение.

Je vais maintenant aborder l'examen de l'important mémoire de M. Russell. Ce mémoire a été écrit en vue de triompher des difficultés soulevées par ces antinomies cantoriennes auxquelles nous avons fait déjà de fréquentes allusions. Cantor avait cru pouvoir constituer une Science de l'Infini ; d'autres se sont avancés dans la voie qu'il avait ouverte, mais ils se sont bientôt heurtés à d'étranges contradictions. Ces antinomies sont déjà nombreuses, mais les plus célèbres sont :

Я обращаюсь теперь к рассмотрению нового мемуара Рассела. Этот мемуар был написан с целью преодолеть трудности, поднятые теми канторовскими антиномиями нa которые я неоднократно намекал выше. Кантор думал, что можно построить науку бесконечного; другие пошли по пути, открытому Кантором, но скоро натолкнулись на странные противоречия. Возникшие антиномии уже многочисленны, но наиболее известны следующие:

1° L'antinomie Burali-Forti ;

1 Антиномия Бурали-Форти.

2° L'antinomie Zermelo-König ;

2 Антиномия Цермело—Кённга.

3° L'antinomie Richard.

3 Антиномия Ришара.

Cantor avait démontré que les nombres ordinaux (il s'agit des nombres ordinaux transfinis, notion nouvelle introduite par lui) peuvent être rangés en une série linéaire, c'est-à-dire que de deux nombres ordinaux inégaux, il y en a toujours un qui est plus petit que l'autre. Burali-Forti démontre le contraire ; et en effet, dit-il en substance, si on pouvait ranger tous les nombres ordinaux en une série linéaire, cette série définirait un nombre ordinal qui serait plus grand que tous les autres ; on pourrait ensuite y ajouter 1 et on obtiendrait encore un nombre ordinal qui serait encore plus grand, et cela est contradictoire.

Кантор доказал, что порядковые числа (речь идет о порядковых трансфинитных числах, т. е. о новом понятии введенном Кантором) могут быть размещены в один линейный ряд, т. е. доказал, что из двух неравных порядковых чисел одно число всегда меньше другого. Бурали-Форти доказывает противоположное. В самом деле, говорит он, если бы все порядковые числа можно было разместить в один ряд, то этот ряд определял бы порядковое число, которое было бы больше, чем все другие; но к нему можно было бы прибавить единицу, и тогда получилось бы порядковое число, которое было бы еще больше, а это приводит к противоречию. Мы вернемся позднее к антиномии Церкело - Кёнига, которая имеет несколько отличную природу.

Nous reviendrons plus loin sur l'antinomie Zermelo-König qui est d'une nature un peu différente ; voici ce que c'est que l'antinomie Richard. (Revue générale des Sciences, 30 juin 1905.) Considérons tous les nombres décimaux qu'on peut définir à l'aide d'un nombre fini de mots ; ces nombres décimaux forment un ensemble E, et il est aisé de voir que cet ensemble est dénombrable, c'est-à-dire qu'on peut numéroter les divers nombres décimaux de cet ensemble depuis 1 jusqu'à l'infini. Supposons le numérotage effectué, et définissons un nombre N de la façon suivante. Si la n^e décimale du n^e nombre de l'ensemble E est

Но вот антиномия Ришара (Revue Generale des Sciences, 30 juin, 1905). Рассмотрим все десятичные числа, которые можно определить при помощи конечного числа слов. Эти десятичные числа образуют совокупность E, и легко видеть, что это есть исчислимая совокупность, т, е. можно перенумеровать различные десятичные числа этой совокупности от 1 до бесконечности. Допустим, что это уже произведено, и определим число N следующим образом. Если n-я цифра n-го числа совокупности Е есть

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

la n^e décimale de N sera

то n-я цифра числа N будет соответственно

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 1.

Comme on le voit, N n'est pas égal au n^e nombre de E et comme n est quelconque, N n'appartient pas à E et pourtant N devrait appartenir à cet ensemble puisque nous l'avons défini avec un nombre fini de mots.

Как мы видим, N не равно n-му числу совокупности Е, а так как n есть произвольное число, то N не принадлежит совокупности E; между тем N должно ей принадлежать, так как мы определили N при помощи конечного числа слов.

Nous verrons plus loin que M. Richard a donné lui-même, avec beaucoup de sagacité, l'explication de son paradoxe et que son explication peut s'étendre, mutatis mutandis, aux autres paradoxes analogues.

Мы увидим ниже, что Ришар сам дал объяснение своего парадокса, обнаружив при этом большую проницательность, и что его объяснение может быть mutatis mutandis (6) распространено на другие аналогичные парадоксы. Рассел цитирует еще другую довольно любопытную антиномию.

Quel est le plus petit nombre entier que l'on ne peut pas définir par une phrase formée de moins de cent mots français ?

К а к о в о то н а и м е н ь ш е е ц е л о е ч и с л о, к о т о р о е н е л ь з я о п р е д е л и т ь п р и п о м о щ и ф р а з ы, и м е ю щ е й м е н е е с т а ф р а н ц у з с к и х с л о в?

Ce nombre existe ; et en effet les nombres susceptibles d'être définis par une pareille phrase sont évidemment en nombre fini puisque les mots de la langue française ne sont pas en nombre infini. Donc, parmi eux, il y en aura un qui sera plus petit que tous les autres.

Такое число существует. И в самом деле, числа, которые могут быть определены такой фразой, имеются, очевидно, в конечном количестве, ибо слова французского языка имеются также в конечном количестве. Следовательно, между этими числами будет одно такое, которое меньше всех прочих.

Et, d'autre part, ce nombre n'existe pas, car sa définition implique contradiction. Ce nombre en effet se trouve défini par la phrase en italiques qui est formée de moins de cent mots français ; et par définition ce nombre ne doit pas pouvoir être défini par une semblable phrase.

Но, с другой стороны, это число не существует, так как определение его заключает противоречие. Действительно, это число определяется самой фразой, напечатанной выше в разрядку и состоящей менее, чем из ста слов, а по определению это число не может быть определено подобной фразой.

Quelle est l'attitude de M. Russell en présence de ces contradictions ? Après avoir analysé celles dont nous venons de parler et en avoir cité d'autres encore, après leur avoir donné une forme qui fait penser à l'Epiménide, il n'hésite pas à conclure :

Какую позицию занимает Рассел ввиду этих противоречий? Рассмотрев те, о которых мы только что говорили, указав еще на другие и придав им форму, которая заставляет вспомнить об Эпимениде, он без колебаний заключает:

" A propositional function of one variable does not always determine a class. " Une " propositional function " ou " norm " peut être " non prédicative ". Et cela ne veut pas dire que ces propositions non prédicatives déterminent une classe vide, une classe nulle ; cela ne veut pas dire qu'il n'y a aucune valeur de x qui satisfasse à la définition et qui puisse être l'un des éléments de la classe. Les éléments existent, mais ils n'ont pas le droit de se syndiquer pour former une classe.

"A prepositional function of one variable does not always deter mine a class". Пропозициональная функция (т. е. определение) одной переменной не всегда определяет класс. "Пропозициональная функция", или "норма", может быть "непредикативной". И это не значит, что такие непредикативные предложения определяют пустой класс, нулевой класс; это не значит, что нет такой величины х, которая удовлетворяла бы определению и могла бы быть одним из элементов класса. Элементы существуют, но они не могут соединяться для образования класса.

Mais cela n'est que le commencement et il faut savoir reconnaître si une définition est ou non prédicative ; pour résoudre ce problème, M. Russell hésite entre trois théories qu'il appelle

Но это только начало, нужно еще быть в состоянии узнать, является ли определение предикативным или нет. Разрешая эту проблему, Рассел колеблется между тремя теориями, которые он называет:

A. The zigzag theory ;

А. теория зигзага (the zigzag theory);

B. The theory of limitation of size ;

В. теория ограничения размера (the theory of limitation of size);

C. The no classes theory.

С. теория неклассов (the no classes theory).

D'après la zigzag theory : " les définitions (fonctions propositionnelles) déterminent une classe quand elles sont très simple et ne cessent de le faire que quand elles sont compliquées et obscures ". Qui décidera maintenant si une définition peut être regardée comme suffisamment simple pour être acceptable ? A cette question pas de réponse, sinon l'aveu loyal d'une complète impuissance : " les règles qui permettraient de reconnaître si ces définitions sont prédicatives seraient extrêmement compliquées et ne peuvent se recommander par aucune raison plausible. C'est un défaut auquel on pourrait remédier par plus d'ingéniosité ou en se servant de distinctions non encore signalées. Mais jusqu'ici, en cherchant ces règles, je n'ai pu trouver d'autre principe directeur que l'absence de contradiction ".

Согласно теории зигзагов "определения (пропозициональные функции) определяют класс, когда они очень просты, и перестают определять таковой, когда они становятся сложными и неясными". Кто же решит вопрос: можно ли рассматривать данное опреде- ление как достаточно простое, для того чтобы оно было приемлемо? На этот вопрос нет ответа, если не считать таковым форменное признание в полном бессилии: "правила, которые позволили бы распознавать, являются ли эти определения предикативными, были бы чрезвычайно сложны и рекомендовать их не было бы целесообразным ни с какой точки зрения. Это недостаток, который можно было бы исправить только при большой изобретательности или при помощи таких отличий, которые еще не намечены. Но до настоящего момента я в поисках этих правил не мог найти другого руководящего принципа, кроме отсутствия противоречия".

Cette théorie reste donc bien obscure ; dans cette nuit, une seule lueur ; c'est le mot zigzag. Ce que M. Russell appelle la " zigzag-giness " c'est sans doute ce caractère particulier qui distingue l'argument d'Epiménide.

Эта теория остается, таким образом, довольно темной. В этой ночи — единственный проблеск, и этот проблеск есть слово "зигзаг". То, что Рассел называет "zigzag-giness", является, без сомнения, тем особенным свойством, которым отличается аргумент Эпименида.

D'après la theory of limitation of size, une classe cesserait d'avoir droit à l'existence si elle était trop étendue. Peut-être pourrait-elle être infinie, mais il ne faudrait pas qu'elle le fût trop.

Согласно теории of limitation of size класс теряет право на существование, если он слишком обширен. Он может даже быть бесконечным, но не должен быть "чрезмерно" бесконечным.

Mais nous retrouvons toujours la même difficulté ; à quel moment précis commencera-t-elle à l'être trop ? Bien entendu, cette difficulté n'est pas résolue et M. Russell passe à la troisième théorie.

Мы и здесь встречаемся все с тем же затруднением: в какой же именно момент класс начинает становиться слишком бесконечным? Само собой разумеется, это затруднение не разрешено, и Рассел переходит к третьей теории.

Dans la no classes theory, il est interdit de prononcer le mot classe et on doit remplacer ce mot par des périphrases variées. Quel changement pour les logisticiens qui ne parlent que de classes et de classes de classes ! Il va falloir refaire toute la Logistique. Se figure-t-on quel sera l'aspect d'une page de Logistique quand on en aura supprimé toutes les propositions où il est question de classe ? Il n'y aura plus que quelques survivantes éparses au milieu d'une page blanche. Apparent rari nantes in gurgite vasto.

В no classes theory запрещено произносить слово "класс", Оно должно замещаться разнообразными перифразами. Какой это крупный переворот для логистиков, которые только и говорят о классах и о классах классов! Необходимо переделать всю логистику. Представляют ли себе эти авторы, какой вид примет страница логистики, если в ней будут уничтожены все предложения, в которых идет речь о классах? Кроме нескольких строк, переживших такую операцию, на белой странице ничего не останется.

Quoi qu'il en soit, on voit quelles sont les hésitations de M. Russell, les modifications qu'il va faire subir aux principes fondamentaux qu'il a adoptés jusqu'ici. Il va falloir des critères pour décider si une définition est trop compliquée ou trop étendue, et ces critères ne pourront être justifiés que par un appel à l'intuition.

Как бы то ни было, мы видим, каковы колебания Рассела, видим изменения, которым он подвергает принятые им же основные принципы. Необходимы были критерии, чтобы решить, является ли определение слишком сложным или слишком обширным, а эти критерии не могут быть оправданы иначе, как обращением к интуиции.

C'est vers la no classes theory que M. Russell incline finalement.

Рассел в конце концов склоняется к теории неклассов.

Quoi qu'il en soit, la Logistique est à refaire et on ne sait trop ce qu'on en pourra sauver. Inutile d'ajouter que le Cantorisme et la Logistique sont seuls en cause ; les vraies mathématiques, celles qui servent à quelque chose, pourront continuer à se développer d'après leurs principes propres sans se préoccuper des orages qui sévissent en dehors d'elles, et elles poursuivront pas à pas leurs conquêtes accoutumées qui sont définitives et qu'elles n'ont jamais à abandonner.

Как бы там ни было, логистика должна быть переделана, и неизвестно, что в ней может быть спасено. Бесполезно прибавлять, что на карту поставлены только канторизм и логистика. Истинные математические науки, т. е. те, которые чему-нибудь служат могут продолжать свое развитие согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях, которые бушуют вне их; они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться.

Quel choix devons-nous faire entre ces différentes théories ? Il me semble que la solution est contenue dans une lettre de M. Richard dont j'ai parlé plus haut et qu'on trouvera dans la Revue Générale des Sciences du 30 juin 1905. Après avoir exposé l'antinomie que nous avons appelée l'antinomie Richard, il en donne l'explication.

Какой же выбор должны мы сделать между этими различными теориями? Мне кажется, что решение заключается в письме Ришара, о котором я уже говорил и которое помещено в "Revue Generale des Sciences" от 30 июня 1905 г. Изложив антиномию, которую я назвал антиномией Ришара, последний дает ей и объяснение.

Reportons-nous à ce que nous avons dit de cette antinomie au § VII ; E est l'ensemble de tous les nombres que l'on peut définir par un nombre fini de mots, sans introduire la notion de l'ensemble E lui-même. Sans quoi la définition de E contiendrait un cercle vicieux ; on ne peut pas définir E par l'ensemble E lui-même.

Вернемся к тому, что мы сказали об этой антиномии в разделе V. Пусть Е будет совокупностью всех чисел, которые можно определить при помощи конечного числа слов, не вводя при этом понятия о самой совокупности Е. В противном случае определение Е заключало бы ложный круг: нельзя определять Е при помощи самой же совокупности Е.

Or nous avons défini N, avec un nombre fini de mots il est vrai, mais en nous appuyant sur la notion de l'ensemble E. Et voilà pourquoi N ne fait pas partie de E.

Далее мы определили число N, правда, при помощи конечного числа слов, но мы опирались на понятие о совокупности Е. Вот почему N и не составляет части Е.

Dans l'exemple choisi par M. Richard, la conclusion se présente avec une entière évidence et l'évidence paraîtra encore plus grande quand on se reportera au texte même de sa lettre. Mais la même explication vaut pour les autres antinomies ainsi qu'il est aisé de le vérifier.

В примере, избранном Ришаром, вывод представляется с полной очевидностью, и очевидность эта станет еще более ясной, если обратиться к самому тексту письма. Но это же объяснение годится, как в том легко убедиться, и для других антиномий.

Ainsi les définitions qui doivent être regardées comme non prédicatives sont celles qui contiennent un cercle vicieux. Et les exemples qui précèdent montrent suffisamment ce que j'entends par là. Est-ce là ce que M. Russell appelle la " zigzagginess ? "

Итак, те определения, которые должны быть рассматриваемы как непредикативные, заключают ложный круг. Предшествовавшие примеры достаточно показали, что я под этим разумею. Не это ли Рассел обозначает названием "zigzag-giness"?

Je pose la question sans la résoudre.

Я ставлю вопрос, не разрешая его.

Examinons les prétendues démonstrations du principe d'induction et en particulier celle de M. Russell et celle de Burali-Forti.

Рассмотрим теперь мнимые доказательства принципа индукции и в особенности доказательства Уайтхеда и Бурали-Форти.

Et d'abord pour mieux faire comprendre la position de la question, profitons de quelques dénominations nouvelles heureusement introduites par M. Russell dans son récent mémoire.

Поговорим сначала о доказательстве Уайтхеда и воспользуемся некоторыми новыми и удачными обозначениями, которые Рассел ввел в своем последнем мемуаре.

Appelons classe récurrente toute classe de nombres qui contient zéro, et qui contient n+1 si elle contient n.

Назовем рекуррентным классом всякий класс чисел, который содержит 0 и который содержит n+l, если он содержит n.

Appelons nombre inductif tout nombre qui fait partie de toutes les classes récurrentes.

Назовем индуктивным числом всякое число, которое составляет часть всех рекуррентных классов.

Appelons nombre fini le nombre cardinal d'une classe qui n'est équivalente à aucune de ses parties.

При каком условии это последнее определение, играющее существенную роль в доказательстве Уайтхеда, будет "предикативным" и, следовательно, приемлемым?

Il faut entendre, d'après tout ce qui précède, par toutes les classes récurrentes, toutes celles dans la définition desquelles n'entre pas la notion de nombre inductif.

Согласно предшествующему изложению под всеми рекуррентными классами надо понимать все классы, в определение которых не входит понятие об индуктивном числе.

Sans cela on retombe dans le cercle vicieux qui a engendré les antinomies.

Без этого можно впасть в ложный круг, который и породил антиномии.

Or Whitehead n'a pas pris cette précaution.

Но Уайтхед не принял этой предосторожности.

Le raisonnement de Whitehead est donc vicieux ; c'est le même qui a conduit aux antinomies ; il était illégitime quand il donnait des résultats faux ; il reste illégitime quand il conduit par hasard à un résultat vrai.

Его рассуждение ложно; именно оно и повело к антиномиям; оно было незаконным, когда давало ложные результаты, и остается незаконным, когда приводит случайно к правильному результату.

Une définition qui contient un cercle vicieux ne définit rien. Il ne sert à rien de dire, nous sommes sûrs, quelque sens que nous donnions à notre définition, qu'il y a au moins zéro qui appartient à la classe des nombres inductifs ; il ne s'agit pas de savoir si cette classe est vide, mais si on peut rigoureusement la délimiter. Une classe " non prédicative " ce n'est pas une classe vide, c'est une classe dont la frontière est indécise.

Определение, которое содержит заколдованный круг, ничего не определяет. Не к чему говорить: мы уверены, что, какой бы смысл ни был дан нашему определению, все же существует по крайней мере нуль, который принадлежит классу индуктивных чисел. Дело не в том, чтобы узнать, пуст ли этот класс, а в том, чтобы его строго отграничить. "Непредикативный" класс — это не пустой класс, а класс, в котором граница оказывается неопределенной.

Inutile d'ajouter que cette objection particulière laisse subsister les objections générales qui s'appliquent à toutes les démonstrations.

Излишне прибавлять, что это частное возражение оставляет в силе те общие возражения, которые приложимы ко всем доказательствам.

M. Burali-Forti a donné une autre démonstration dans son article Le Classi finite (Atti di Torino, t. XXXII). Mais il est obligé d'admettre deux postulats :

Бурали-Форти представил другое доказательство в своей статье "Конечные классы" {Atti di Torino, t. XXXII), но он вынужден допустить два постулата.

Le premier, c'est qu'il existe toujours au moins une classe infinie.

Первый утверждает, что существует по крайней мере один бесконечный класс.

Le second s'énonce ainsi :

Второй гласит

ueK(K - iL). Й.u<v'u.

Le premier postulat n'est pas plus évident que le principe à démontrer ; le second non seulement n'est pas évident, mais il est faux; comme l'a montré M. Whitehead, comme d'ailleurs le moindre taupin s'en serait aperçu du premier coup, si l'axiome avait été énoncé dans un langage intelligible, puisqu'il signifie : le nombre des combinaisons qu'on peut former avec plusieurs objets est plus petit que le nombre de ces objets.

Первый постулат не более очевиден, чем принцип, подлежащий доказательству. Второй не только не очевиден, но и ложен, как это показал Уайтхед и как это, впрочем, заметил бы любой лицеист математического класса, если бы аксиома была выражена на понятном языке. Ибо эта аксиома означает: число комбинаций, которые можно образовать из нескольких предметов, менее числа этих предметов.

Dans sa démonstration célèbre, M. Zermelo s'appuie sur l'axiome suivant :

В известном доказательстве Цермело опирается на следующую аксиому:

Dans un ensemble quelconque (ou même dans chacun des ensembles d'un ensemble d'ensembles) nous pouvons toujours choisir au hasard un élément (quand même cet ensemble d'ensembles comprendrait une infinité d'ensembles). On avait appliqué mille fois cet axiome sans l'énoncer, mais dès qu'il fut énoncé, il souleva des doutes. Quelques mathématiciens, comme M. Borel, le rejetèrent résolument ; d'autres l'admirent. Voyons ce qu'en pense M. Russell, d'après son dernier article.

В какой-либо совокупности (или даже в каждой из совокупностей некоторой совокупности совокупностей) мы можем всегда выбрать наудачу один элемент (даже тогда, когда эта совокупность совокупностей обнимает бесконечно много совокупностей). Тысячу раз применяли эту аксиому, не высказывая ее. Но лишь только она была высказана, как появились сомнения. Одни математики, как Борель, ее отвергают, другие восхищаются ею. Посмотрим, что об этом думает Рассел в своей последней статье.

Il ne se prononce pas, mais les considérations auxquelles il se livre sont très suggestives.

Он не высказывается, но те размышления, которым он предается, очень знаменательны.

Et d'abord un exemple pittoresque ; supposons que nous ayons autant de paires de bottes que de nombres entiers, de telle façon que nous puissions numéroter les paires depuis 1 jusqu'à l'infini ; combien aurons-nous de bottes ? le nombre des bottes sera-t-il égal au nombre des paires. Oui, si dans chaque paire, la botte droite se distingue de la botte gauche ; il suffira de donner le numéro 2n-1 à la botte droite de la n^e paire et le numéro 2n à la botte gauche de la n^e paire. Non, si la botte droite est pareille à la botte gauche, parce qu'une pareille opération deviendra impossible. A moins que l'on n'admette l'axiome de Zermelo, parce qu'alors on pourra choisir au hasard dans chaque paire la botte que l'on regardera comme droite.

Однако сначала один наглядный пример. Допустим, что мы имеем столько пар сапог, сколько есть целых чисел, так что мы можем нумеровать пары от 1 до бесконечности. Сколько мы будем иметь сапог? Будет ли число сапог равно числу пар? Да, если в каждой паре правый сапог отличается от левого, ибо в таком случае достаточно будет обозначить номером 2n - 1 правый сапог n-й пары, а номером 2n — левый сапог n-й пары. Нет, если правый сапог подобен левому, так как в этом случае такая операция будет невозможна. Иначе придется допустить аксиому Цермело, потому что тогда можно в каждой паре выбрать наудачу сапог, который будет рассматриваться как правый.

Une démonstration vraiment fondée sur les principes de la Logique Analytique se composera d'une suite de propositions ; les unes, qui serviront de prémisses, seront des identités ou des définitions ; les autres se déduiront des premières de proche en proche ; mais bien que le lien entre chaque proposition et la suivante s'aperçoive immédiatement, on ne verra pas du premier coup comment on a pu passer de la première à la dernière, que l'on pourra être tenté de regarder comme une vérité nouvelle. Mais si l'on remplace successivement les diverses expressions qui y figurent par leur définition et si l'on poursuit cette opération aussi loin qu'on le peut, il ne restera plus à la fin que des identités, de sorte que tout se réduira à une immense tautologie. La Logique reste donc stérile, à moins d'être fécondée par l'intuition.

Доказательство, действительно основанное на принципах аналитической логики, будет составляться из ряда предложений. Одни из них, которые служат посылками, будут тождествами или определениями; другие будут последовательно выведены из первых. Но, хотя связь между каждым предложением н последующим замечается непосредственно, трудно будет с первого взгляда увидеть, как мог совершиться переход от первого предложения к последнему, и явится соблазн рассматривать это последнее как новую истину. Но если последовательно заменить фигурирующие в нем различные выражения их определениями, если провести эту операцию насколько можно далеко, то в итоге останутся только тождества, так что все сведется к бесконечной тавтологии. Логика, следовательно, окажется бесплодной, если не будет оплодотворена интуицией.

Voilà ce que j'ai écrit autrefois ; les logisticiens professent le contraire et croient l'avoir prouvé en démontrant effectivement des vérités nouvelles. Par quel mécanisme ?

Вот что я уже писал давно. Логистики исповедуют противоположную точку зрения и думают, что доказали ее, показав действительно новые истины. Но каким образом?

Pourquoi, en appliquant à leurs raisonnements le procédé que je viens de décrire, c'est-à-dire en remplaçant les termes définis par leurs définitions, ne les voit-on pas se fondre en identités comme les raisonnements ordinaires ? C'est que ce procédé ne leur est pas applicable. Et pourquoi ? parce que leurs définitions sont non prédicatives et présentent cette sorte de cercle vicieux caché que j'ai signalé plus haut ; les définitions non prédicatives ne peuvent pas être substituées au terme défini. Dans ces conditions, la Logistique n'est plus stérile, elle engendre l'antinomie.

Почему, применяя к их рассуждениям описанный только что прием, т. е. заменяя определенные термины их определениями, мы не видим, чтобы они сливались в тождества, как это бывает с обыкновенными рассуждениями? Значит, этот прием к ним неприменим. А почему? Потому что их определения непредикативные и дают тот заколдованный круг, который я отметил выше; непредикативные определения не могут стать на место определяемого термина. В этих условиях логистика является уже не бесплодной, она родит антиномию.

C'est la croyance à l'existence de l'infini actuel qui a donné naissance à ces définitions non prédicatives. Je m'explique : dans ces définitions figure le mot tous, ainsi qu'on le voit dans les exemples cités plus haut. Le mot tous a un sens bien net quand il s'agit d'un nombre fini d'objets ; pour qu'il en eût encore un, quand les objets sont en nombre infini, il faudrait qu'il y eût un infini actuel. Autrement tous ces objets ne pourront pas être conçus comme posés antérieurement à leur définition et alors si la définition d'une notion N dépend de tous les objets A, elle peut être entachée de cercle vicieux, si parmi les objets A il y en a qu'on ne peut définir sans faire intervenir la notion N elle-même.

Вера в существование актуальной бесконечности дала начало этим непредикативным определениям. Я объяснюсь. В этих определениях фигурирует слово "все", как это видно из приведенных выше примеров. Слово "все" имеет достаточно точный смысл, когда речь идет о бесконечном (7) числе предметов; для того чтобы оно имело также смысл, когда предметов имеется бесчисленное множество, необходимо, чтобы существовало актуально бесконечное. В противном случае на все эти предметы нельзя было бы смотреть как на данные до их определения; вместе с тем определение понятия N, если оно зависит от всех предметов А, может страдать пороком заколдованного круга, раз между предметами А имеются такие, которые нельзя определить без помощи самого понятия N.

Les règles de la logique formelle expriment simplement les propriétés de toutes les classifications possibles. Mais pour qu'elles soient applicables, il faut que ces classifications soient immuables et qu'on n'ait pas à les modifier dans le cours du raisonnement. Si l'on a à classer qu'un nombre fini d'objets, il est facile de conserver ses classifications ses classifications sans changement. Si les objets sont en nombre indéfini, c'est-à-dire si on est sans cesse exposé à voir surgir des objets nouveaux et imprévus, il peut arriver que l'apparition d'un objet nouveau oblige à modifier la classification, et c'est ainsi qu'on est exposé aux antinomies.

Правила формальной логики выражают просто свойства всех возможных классификаций. Но для того, чтобы эти правила были приложимы, необходимо, чтобы классификации оставались неизменными, чтобы их не приходилось изменять на протяжении рассуждений. Если приходится распределять конечное число предметов, то легко сохранить эти классификации без изменения. Если же предметы имеются в неопределенном количестве, т. е. если имеется возможность постоянного и внезапного появления новых предметов, то может случиться, что такое появление обяжет к изменению классификации. Отсюда опасность антиномий.

Il n'y a pas d'infini actuel ; les Cantoriens l'ont oublié, et ils sont tombés dans la contradiction. Il est vrai que le Cantorisme a rendu des services, mais c'était quand on l'appliquait à un vrai problème, dont les termes étaient nettement définis, et alors on pouvait marcher sans crainte.

Нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли это и впали в противоречие. Верно то, что теория Кантора оказала услуги, но это было тогда, когда она применялась к истинной проблеме, термины которой были отчетливо определены; тогда можно было подвигаться вперед без опасений.

Les logisticiens l'ont oublié comme les Cantoriens et ils ont rencontré les mêmes difficultés. Mais il s'agit de savoir s'ils se sont engagés dans cette voie par accident, ou si c'était pour eux une nécessité.

И логистики, подобно канторианцам, забыли об этом и встретились с теми же затруднениями. Но нужно знать, попали ли они на этот путь случайно или по необходимости.

Pour moi, la question n'est pas douteuse ; la croyance à l'infini actuel est essentielle dans la logistique russelienne. C'est justement ce qui la distingue de la logistique hilbertienne. Hilbert se place au point de vue de l'extension, précisément afin d'éviter les antinomies cantoriennes ; Russell se place au point de vue de la compréhension. Par conséquent le genre est pour lui antérieur à l'espèce, et le summum genus est antérieur à tout. Cela n'aurait pas d'inconvénient si le summum genus était fini ; mais s'il est infini, il faut poser l'infini avant le fini, c'est-à-dire regarder l'infini comme actuel.

Для меня вопрос не представляет сомнений. Вера в актуально бесконечное является существенной в логике Рассела. Этим она отличается от логистики Гильберта. Гильберт становится на точку зрения объема именно для того, чтобы избежать канторовских антиномий; Рассел становится на точку зрения содержания. Для него, следовательно, род предшествует виду и summum genus (8) предшествует всему. Это не представляло бы неудобства, если бы summum genus был конечным; но если он бесконечен, то приходится бесконечное ставить перед конечным, т. е. рассматривать бесконечное как актуальное.

Et nous n'avons pas seulement des classes infinies ; quand nous passons du genre à l'espèce en restreignant le concept par des conditions nouvelles, ces conditions sont encore en nombre infini. Car elles expriment généralement que l'objet envisagé présente telle ou telle relation avec tous les objets d'une classe infinie.

Но мы имеем не только бесконечные классы. Когда мы переходим от рода к виду, суживая понятие введением новых условий, то эти условия тоже появляются в бесконечном числе. Ибо они вообще выражают, что рассматриваемый предмет находится в том или ином отношении ко всем предметам бесконечного класса.

Mais cela, c'est de l'histoire ancienne. M. Russell a aperçu le péril et il va aviser. Il va tout changer ; et qu'on s'entende bien : il ne s'apprête pas seulement à introduire de nouveaux principes qui permettront des opérations autrefois interdites ; il s'apprête à interdire des opérations qu'il jugeait autrefois légitimes. Il ne se contente pas d'adorer ce qu'il a brûlé ; il va brûler ce qu'il a adoré, ce qui est plus grave. Il n'ajoute pas une nouvelle aile au bâtiment, il en sape les fondations.

Однако все это уже устаревшая история. Рассел заметил опасность. Он ее обдумает. Он все изменит. Он готов, запомним это, не только ввести новые принципы, которые позволяют производить не разрешенные никогда операции, но готов запретить операции, которые считал некогда законными. Он не довольствуется поклонением тому, что сжигал; он готов сжечь то, чему поклонялся, что еще тяжелее. Он не прибавляет нового крыла к зданию, он подрывает его основание.

L'ancienne Logistique est morte, si bien que la zigzag-theory et la no classes theory se disputent déjà sa succession. Pour juger la nouvelle, nous attendrons qu'elle existe.

Старая логистика умерла, a zigzag-theory и no classes theory оспаривают друг у друга преемственность. Чтобы судить о новой логистике, мы подождем, когда она образуется.